Cho hình lập phương \(ABCD.EFGH\) cạnh \(1\). Điểm \(M\) được cho thỏa mãn hệ thức

Câu hỏi số 755597:

Thông hiểu

Cho hình lập phương \(ABCD.EFGH\) cạnh \(1\). Điểm \(M\) được cho thỏa mãn hệ thức vectơ\(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AE} = 3\overrightarrow {CD} \). Tính khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {EBD} \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:755597

Giải chi tiết

Ta có \(A\left( {0\,;0\,;0} \right)\),\(\overrightarrow {AE} = \left( {0\,;0\,;1} \right)\), \(\overrightarrow {CD} = \left( { - 1\,;0\,;0} \right)\).

Đặt \(M\left( {a\,;b\,;c} \right)\), suy ra \(\overrightarrow {AM} = \left( {a\,;b\,;c} \right)\).

Có: \(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AE} = 3\overrightarrow {CD} \)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + 0 = - 3}\\{b + 0 = 0}\\{c + 1 = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - 3}\\{b = 0}\\{c = - 1}\end{array}} \right.} \right.\).

Suy ra \(M\left( { - 3\,;0\,; - 1} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( {EBD} \right)\): \(x + y + z - 1 = 0\).

Khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {EBD} \right)\) bằng

\(d\left( {M;\left( {EBD} \right)} \right) = \dfrac{{\left| {Ax + By + Cz + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }} = \dfrac{{\left| { - 3 + 0 - 1 - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \dfrac{{5\sqrt 3 }}{3}\)

Vậy khoảng cách bằng \(\dfrac{{5\sqrt 3 }}{3}.\)

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.