Cho hai điểm \(P(1 ; 6)\), \(Q(-3 ;-4)\) và đường thẳng \(\Delta: 2 x-y-1=0\). Gọi \(M \in \Delta\)

Câu hỏi số 758355:

Thông hiểu

Cho hai điểm \(P(1 ; 6)\), \(Q(-3 ;-4)\) và đường thẳng \(\Delta: 2 x-y-1=0\). Gọi \(M \in \Delta\) là điểm sao cho \(M P+M Q\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tung độ của điểm \(M\) (nhập đáp án vào ô trống).

Đáp án:

Đáp án đúng là: -1

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:758355

Phương pháp giải

Gọi \(P^{\prime}\) là điểm đối xứng của \(P\) qua đường thẳng \(\Delta\).

\(M P+M Q\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(M, P^{\prime}, Q\) thẳng hàng.

Giải chi tiết

Gọi \(P^{\prime}\) là điểm đối xứng của \(P\) qua đường thẳng \(\Delta\).
Ta có vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta\) là \(\overrightarrow{n_{\Delta}}=(2 ;-1)\).
Suy ra vectơ pháp tuyến của đường thẳng\(PP^{\prime}\) là \(\overrightarrow{n_{P P^{\prime}}}=(1 ; 2)\).
Phương trình \(PP^{\prime}: x-1+2(y-6)=0 \Leftrightarrow x+2 y-13=0\).
Gọi \(I\) là giao điểm của \(P P^{\prime}\) và \(\Delta\).
Tọa độ điểm \(I\) là nghiệm của hệ
\(\left\{\begin{array}{l}2 x-y-1=0 \\ x+2 y-13=0\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=3 \\ y=5\end{array} \Rightarrow I(3 ; 5)\right.\right.\).
Suy ra \(P^{\prime}(5 ; 4)\); \(\overrightarrow{Q P^{\prime}}=(8 ; 8)\)
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(Q P^{\prime}\) là \(\vec{n}_{Q P^{\prime}}=(1 ;-1)\).
Phương trình đương thẳng
\(Q P^{\prime}: x-5-(y-4)=0 \Leftrightarrow x-y-1=0\).
Ta có \(P, Q\) nằm về cùng phía của đường thẳng \(\Delta\) nên
\(M P+M Q=M P^{\prime}+M Q \geq Q P^{\prime}\).
Suy ra \(M P+M Q\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(M, P^{\prime}, Q\) thẳng hàng.
Hay \(M\) là giao điểm của \(Q P^{\prime}\) và \(\Delta\).
Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ
\(\left\{\begin{array}{l}x-y-1=0 \\ 2 x-y-1=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y=-1 \text {. }\end{array}\right.\right.\)

Vậy tung độ điểm \(M\) là -1.

Đáp án cần điền là: -1

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.