Cho \(\int\limits_3^4 {\dfrac{1}{{{x^2} + 2x - 3}}} dx = a\ln 3 + b\ln 7,\,a,b\) là các số hữu tỉ.

Câu hỏi số 761092:

Vận dụng

Cho \(\int\limits_3^4 {\dfrac{1}{{{x^2} + 2x - 3}}} dx = a\ln 3 + b\ln 7,\,a,b\) là các số hữu tỉ. Tính giá trị biểu thức \(P = a - 2b\).

Đáp án:

Đáp án đúng là: 1

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:761092

Phương pháp giải

- Biến đổi \(\dfrac{1}{{{x^2} + 2x - 3}} = \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{1}{{x + 3}}} \right)\).

- Sử dụng công thức tính nguyên hàm: \(\int {\dfrac{{dx}}{{ax + b}}} = \dfrac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C\).

- Đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b\) và tính giá trị biểu thức \(P\).

Giải chi tiết

Ta có: \(\dfrac{1}{{{x^2} + 2x - 3}} = \dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \dfrac{A}{{x - 1}} + \dfrac{B}{{x + 3}}\)\( = \dfrac{{A\left( {x + 3} \right) + B\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \dfrac{{\left( {A + B} \right)x + \left( {3A - B} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}\).

Đồng nhất hệ số ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}A + B = 0\\3A - B = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = \dfrac{1}{4}\\B = - \dfrac{1}{4}\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{{x^2} + 2x - 3}} = \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{1}{{x + 3}}} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_3^4 {\dfrac{1}{{{x^2} + 2x - 3}}} dx\\ = \dfrac{1}{4}\int\limits_3^4 {\left( {\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{1}{{x + 3}}} \right)dx} \\ = \dfrac{1}{4}\left. {\left( {\ln \left| {x - 1} \right| - \ln \left| {x + 3} \right|} \right)} \right|_3^4\\ = \dfrac{1}{4}\left[ {\left( {\ln 3 - \ln 7} \right) - \left( {\ln 2 - \ln 6} \right)} \right]\\ = \dfrac{1}{4}\left[ {\left( {\ln 3 - \ln 7} \right) + \ln \dfrac{6}{2}} \right]\\ = \dfrac{1}{4}\left( {2\ln 3 - \ln 7} \right)\\ = \dfrac{1}{2}\ln 3 - \dfrac{1}{4}\ln 7\\ \Rightarrow a = \dfrac{1}{2},\,\,b = - \dfrac{1}{4}.\end{array}\)

Vậy \(P = a - 2b = \dfrac{1}{2} - 2.\dfrac{{ - 1}}{4} = 1.\)

Đáp án cần điền là: 1

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.