Cho \(\Delta ABC\) có ba đường cao AD, BF và CE cắt nhau tại H. a) Chứng minh \(\Delta BHE\)~\(\Delta

Câu hỏi số 762189:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) có ba đường cao AD, BF và CE cắt nhau tại H.

a) Chứng minh \(\Delta BHE\)~\(\Delta CHF\).

b) Chứng minh \(AE.AB = AH.AD\).

c) Chứng minh \(\Delta AEF\)~\(\Delta ACB\), từ đó chứng minh \(\Delta EDF\) vuông khi \({\left( {\dfrac{{AF}}{{AB}}} \right)^2} = \dfrac{1}{2}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:762189

Phương pháp giải

a) Xét hai tam giác vuông \(\Delta BHE\)và \(\Delta CHF\) có hai góc đổi đỉnh bằng nhau.

b) Chứng minh \(\Delta BHE\)~\(\Delta CHF\) (g.g) suy ra\(\dfrac{{AE}}{{AD}} = \dfrac{{AH}}{{AB}}\) hay \(AE.AB = AH.AD\)

c) Chứng minh \(\Delta AEF\)~\(\Delta ACB{\rm{ (c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}\)

\({\left( {\dfrac{{AF}}{{AB}}} \right)^2} = \dfrac{1}{2}\) hay \({\rm{A}}{{\rm{B}}^2} = 2{\rm{A}}{{\rm{F}}^2}\)

Suy ra \(\Delta {\rm{ABF}}\) vuông cân và \(\angle {ABF} = 45^\circ \)

Chứng minh DH là tia phân giác của \(\angle {EDF}\) suy ra \(\angle {EDF} = 2.\angle {EBF} = 90^\circ \) hay \(\Delta EDF\) vuông tại D.

Giải chi tiết

a) Vì \(CE \bot AB\)nên \(\angle {BEH} = 90^\circ \)

Vì \(BF \bot AC\)nên \(\angle {CFH} = 90^\circ \)

Xét \(\Delta BHE\)và \(\Delta CHF\)có:

\(\angle {BEH} = \angle {CFH}\left( { = 90^\circ } \right)\)

\(\angle {BHE} = \angle {CHF}\)(2 góc đối đỉnh)

Vậy\(\Delta BHE\)~\(\Delta CHF\) (g.g)

b) Vì \(CE \bot AB\)nên \(\angle {AEH} = 90^\circ \)

Vì \(BC \bot AD\)nên \(\angle {ADB} = 90^\circ \)

Xét \(\Delta AHE\)và \(\Delta ABD\)có:

\(\angle {AEH} = \angle {ADB}\left( { = 90^\circ } \right)\)

Góc A chung

Suy ra \(\Delta BHE\)~\(\Delta CHF\) (g.g)

Do đó: \(\dfrac{{AE}}{{AD}} = \dfrac{{AH}}{{AB}}\) (2 cạnh tương ứng)

Vậy \(AE.AB = AH.AD\)(đpcm)

c) Xét \(\Delta AEC\) và \(\Delta AFB\)có:

Góc A chung

\(\angle {AEC} = \angle {AFB}\left( { = 90^\circ } \right)\)

Suy ra \(\Delta AEC\)~\(\Delta AFB\) (g.g)

Suy ra \(\dfrac{{AE}}{{AF}} = \dfrac{{AC}}{{AB}}\)(2 cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta AEF\)và \(\Delta ACB\)có:

Góc A chung

\(\dfrac{{AE}}{{AF}} = \dfrac{{AC}}{{AB}}\) (cm câu b)

Suy ra \(\Delta AEF\)~\(\Delta ACB\) (c.g.c)

Ta có: \({\left( {\dfrac{{AF}}{{AB}}} \right)^2} = \dfrac{1}{2}\) hay \({\rm{A}}{{\rm{B}}^2} = 2{\rm{A}}{{\rm{F}}^2}\)

Suy ra \(\Delta ABF\) vuông cân tại A và \(\angle {ABF} = 45^\circ \)

Vì DH là tia phân giác của \(\angle {EDF}\)

Suy ra \(\angle {EDF} = 2.\angle {EBF} = 90^\circ \) hay tam giác EDF vuông tại D .

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link