1) Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước thì trong 5 giờ sẽ đầy bể. Nếu

Câu hỏi số 764308:

Vận dụng

1) Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước thì trong 5 giờ sẽ đầy bể. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ và vòi thứ 2 chảy trong 4 giờ thì được \(\dfrac{2}{3}\) bể nước. Hỏi nếu mỗi vòi nước chảy một mình thì trong bao lâu mới đầy bể.

2) Một xí nghiệp theo kế hoạch phải sản xuất 75 sản phẩm trong một số ngày dự kiến. Nhưng khi thực hiện, do cải tiến kĩ thuật nên mỗi ngày xí nghiệp làm vượt mức 5 sản phẩm, vì vậy không những họ đã làm được 80 sản phẩm mà còn hoàn thành trước kế hoạch 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xí nghiệp sản xuất bao nhiêu sản phẩm?

3) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), biết rằng parabol \(y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):\)\(y = x - m\) có một hoành độ giao điểm là \(x = \dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\). Giả sử \({x_1};{x_2}\) là các hoành độ giao điểm của hai hàm số trên. Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức: \(\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}} - \dfrac{{2025}}{{{x_1} + {x_2} - 2}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:764308

Giải chi tiết

1) Gọi thời gian vòi \(I\)chảy một mình đầy bề là \(x\) (giờ \(x > 5\))

Thời gian vòi \(II\) chảy một mình đầy vể là \(y\) (giờ, \(y > 5\))

Thời gian cả hai voi cùng chảy đầy bể là 5 giờ.

Trong 1 giờ, vòi \(I\) chảy được \(\dfrac{1}{x}\) bể; vòi \(II\) chảy được \(\dfrac{1}{y}\) bể; cả hai vòi cùng chảy được \(\dfrac{1}{5}\) bề.

Do đó ta có phương trình: \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{5}\) \(\left( 1 \right)\)

Trong 3 giờ vòi \(I\) chảy được \(\dfrac{3}{x}\)bề; Trong 2 giờ vòi \(II\) chảy được \(\dfrac{2}{y}\) bề. Cả hai vòi chảy được \(\dfrac{2}{3}\) bể.

Do đó ta có phương trình: \(\dfrac{3}{x} + \dfrac{4}{y} = \dfrac{2}{3}\) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{5}\\\dfrac{3}{x} + \dfrac{4}{y} = \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\)

Giải hệ phương trình ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 7,5\\y = 15\end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy:

Thời gian vòi \(I\) chảy một mình đầy bể là 7,5 giờ.

Thời gian vòi \(II\) chảy một mình đẩy bể là 15 giờ.

2) Gọi số sản phẩm mỗi ngày xí ngiệp phải làm theo kế hoạch là \(x\), (sản phẩm \(x \in \mathbb{N}*,x < 75)\)

Số sản phẩm phải làm theo kế hoạch là 75 sản phẩm.

Thời gian hoàn thành theo kế hoạch là \(\dfrac{{75}}{x}\) ngày.

Thực tế, mỗi ngày làm được \(x + 5\) sản phẩm.

Thực tế số sản phẩm làm được là 80 sản phẩm.

Thực tế, thời gian hoàn thành là \(\dfrac{{80}}{x}\) sản phẩm.

Thực tế, xí nghiệp hoàn thành trước 1 ngày so với kế hoạch nên ta có phương trình:

\(\dfrac{{80}}{{x + 5}} + 1 = \dfrac{{75}}{x}\) hay \(\dfrac{{80 + x + 5}}{{x + 5}} = \dfrac{{75}}{x}\)

Suy ra: \({x^2} + 80x + 5x = 75x + 375\)

\({x^2} + 10x - 375 = 0\)

\(\left( {x - 15} \right)\left( {x + 25} \right) = 0\)

Trường hợp 1: \(x = 15\) (tm)

Trường hợp 2: \(x = - 25\) (loại)

Vậy, theo kế hoạch mỗi ngày xí nghiệp phải làm 15 sản phẩm.

3) Hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng \(\left( d \right)\) là nghiệm của phương trình:

\({x^2} = x - m\)

\({x^2} - x + m = 0\)

Hai đồ thị hàm số có một giao điểm là \(x = \dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\) nên ta có:

\({\left( {\dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^2} - \dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2} + m = 0\)

\(m = \dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2} - {\left( {\dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^2}\)

\( = \dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2} - \dfrac{{6 - 2\sqrt 5 }}{4} = \dfrac{{1 - \sqrt 5 - 3 + \sqrt 5 }}{2} = - 1\)

Với \(m = - 1\) ta có phương trình: \({x^2} - x - 1 = 0\)

Theo định lí Viet ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 1\\{x_1}{x_2} = - 1\end{array} \right.\) \(\left( 1 \right)\)

Theo bài ra:\(\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}} - \dfrac{{2025}}{{{x_1} + {x_2} - 2}}\)

\(\dfrac{{{x_2} + {x_1}}}{{{x_1}{x_2}}} - \dfrac{{2025}}{{{x_1} + {x_2} - 2}}\) \(\left( 2 \right)\)

Từ (1) và \(\left( 2 \right)\) ta có: \(\dfrac{1}{{ - 1}} - \dfrac{{2025}}{{1 - 2}} = - 1 + 2025 = 2024\)

Vậy \(\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}} - \dfrac{{2025}}{{{x_1} + {x_2} - 2}} = 2024\) với \(m = - 1\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link