Cho \((O)\) đường kính \(AB\). Kẻ đường kính \(CD\) vuông góc với \(AB\). Lấy

Câu hỏi số 764703:

Vận dụng

Cho \((O)\) đường kính \(AB\). Kẻ đường kính \(CD\) vuông góc với \(AB\). Lấy \(M\) thuộc cung nhỏ \(BC\), \(AM\) cắt \(CD\) tại \(E\). Qua \(D\) kẻ tiếp tuyến với \((O)\)cắt đường thẳng \(BM\) tại \(N\). Gọi \(P\) là hình chiếu vuông góc của \(B\) lên \(DN\).

1) Chứng minh các điểm \(M,\,N,D,E\) cùng thuộc một đường tròn.

2) Chứng minh \(EN\,{\rm{//}}\,CB\).

3) Chứng minh \(AM.BN = 2{R^2}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:764703

Phương pháp giải

1) Chứng minh \(\Delta EDN\)vuông tại \(D\) để suy ra \(3\)điểm \(E,D,N\)thuộc đường tròn đường kính \(EN\).

Chứng minh \(\Delta EMN\) vuông tại \(M\) để suy ra \(3\)điểm \(E,M,N\)thuộc đường tròn đường kính \(EN\).

2) Chứng minh hai góc so le trong bằng nhau: \(\angle {CBM} = \angle {ENM}\left( { = \angle {EDM}} \right)\)

3) Chứng minh \(\Delta AMB\)~\(\Delta BPN\) \( \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{BP}} = \dfrac{{AB}}{{BN}}\), chứng minh \(OBPD\) là hình vuông nên \(OD = OB = BP = R\). Từ đó kết luận.

Giải chi tiết

1) Xét tứ giác \(MNDE\):

Có \(DN \bot CD\,\,\)(vì \(DN\)là tiếp tuyến của \((O)\))

\( \Rightarrow \angle {CDN} = {90^0}\)

\( \Rightarrow \angle {EDN} = 90^\circ \)

\(\Delta EDN\)vuông tại \(D\)

Suy ra \(3\)điểm \(E,D,N\)thuộc đường tròn đường kính \(EN\)\(\left( 1 \right)\)

Ta có \(\angle {AMB} = {90^0}\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

\( \Rightarrow \angle {EMN} = {90^0}\)

\( \Rightarrow \Delta EMN\)vuông tại \(M\)

Suy ra \(3\)điểm \(E,M,N\)thuộc đường tròn đường kính \(EN\)\(\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) Suy ra các điểm \(M,\,N,D,E\) cùng thuộc một đường tròn.

2) Xét \((O)\) có \(\angle {CDM} = \angle {CBM}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(CM\))

\( \Rightarrow \angle {EDM} = \angle {CBM}\)

Vì tứ giác \(MNDE\) nội tiếp (cmt)

\( \Rightarrow \angle {EDM} = \angle {ENM}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(EM\))

Suy ra \(\angle {CBM} = \angle {ENM}\left( { = \angle {EDM}} \right)\) mà hai góc này ở vị trí so le trong

\( \Rightarrow EN\,{\rm{//}}\,CB\)

3) Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta BPN\):

Có \(BP \bot DN \Rightarrow \angle {BPN} = {90^0}\)\( \Rightarrow \angle {AMB} = \angle {BPN} = {90^0}\)(1)

Có \(DN \bot CD\) (\(DN\) kẻ tiếp tuyến với \((O)\)

\( \Rightarrow BA\,{\rm{//}}\,DN\)

\( \Rightarrow \angle {ABM} = \angle {DNB}\) (hai góc đồng vị) (2)

Từ (1) và (2) ta có \(\Delta AMB\)~\(\Delta BPN\) (g - g)

Xét tứ giác \(OBPD\)có:

\(\angle {DOB} = \angle {BPD} = \angle {ODP} = {90^0}\)

\(OD = OB = R\)

\( \Rightarrow OBPD\) là hình vuông (DHNB) nên \(OD = OB = BP = R\)

Có \(\Delta AMB\)~\(\Delta BPN\) (cmt) \( \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{BP}} = \dfrac{{AB}}{{BN}}\)

\( \Rightarrow AM.BN = BP.AB = R.2R = 2{R^2}\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link