Cho tam giác \(ABC\) nhọn \((AB < AC)\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\), hai đường cao

Câu hỏi số 766132:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) nhọn \((AB < AC)\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\), hai đường cao \(AD\) và \(BE\) cắt nhau tại \(H\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Vẽ \(HN\) vuông góc với \(AM\) tại \(N\).
a) Chứng minh tứ giác \(AHNE\) nội tiếp.
b) Đường thẳng \(BE\) cắt đường tròn tại điểm thứ hai là \(K\). Chứng minh \(CE\) là tia phân giác của góc HCK.
c) Chứng minh \(M{B^2} = MN \cdot MA\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:766132

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(\angle AEH = 90^\circ \)(gt) và \(\angle ANH = 90^\circ \)(gt) rồi suy ra tứ giác \(AHNE\) nội tiếp.

b) Chứng minh \(\angle KCE = \angle ECH\)suy ra \(CE\) là tia phân giác của góc \(HCK\)

c) Chứng minh tam giác \(MNC\) và tam giác \(MCA\) đồng dạng rồi suy ra \(M{C^2} = MN.MA\) mà \(MC = MB\) nên \(M{B^2} = MN.MA\).

Giải chi tiết

a) Ta có: \(\angle AEH = 90^\circ \)(gt) và \(\angle ANH = 90^\circ \)(gt)

Nên tứ giác \(AHNE\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AH\)

b) Ta có \(\angle HEC = 90^\circ \) và \(\angle HDC = 90^\circ \) nên tứ giác \(DHEC\)nội tiếp đường tròn đường kính \(HC\)

Suy ra \(\angle ECH = \angle EDH\) (1)

\(\angle AEB = \angle ADB = 90^\circ \) nên tứ giác \(AEDB\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AB\)\( \Rightarrow \angle EDH = \angle EBA(2)\)

Từ (1)(2) suy ra \(\angle KBA = \angle ECH\)

Lại có \(\angle KBA = \angle KCA\) suy ra \(\angle KCE = \angle ECH\)

Do đó \(CE\) là tia phân giác của góc \(HCK\)

b) Xét tam giác \(ANH\)vuông tại \(N\) và tam giác \(ADM\)vuông tại \(D\) có \(\angle DAN\) chung nên tam giác \(ANH\)đồng dạng với tam giác \(ADM\) suy ra \(AN{\rm{.}}AM = AH{\rm{.}}AD\,(3)\)

Xét tam giác \(AEH\)vuông tại \(E\) và tam giác \(ADC\)vuông tại \(D\) có \(\angle DAC\) chung nên tam giác \(AEH\)đồng dạng với tam giác \(ADC\)suy ra \(AE.AC = AH.AD\,(4)\)

Từ (3)(4) suy ra \(AN.AM = AE.AC\) hay \(\dfrac{{AN}}{{AE}} = \dfrac{{AC}}{{AM}}\)

Xét tam giác \(ANC\)và tam giác \(AEM\)có \(\angle MAC\)chung, \(\dfrac{{AN}}{{AE}} = \dfrac{{AC}}{{AM}}\)

Suy ra tam giác \(ANC\) đồng dạng với tam giác \(AEM\).

Suy ra \(\angle ANC = \angle AEM\)suy ra \(\angle MNC = \angle MEC\left( 5 \right)\)

Lại có \(ME = MC\left( { = \dfrac{1}{2}BC} \right)\) nên tam giác \(MEC\) cân tại \(M\)

Suy ra \(\angle MEC = \angle MCE\left( 6 \right)\)

Từ \(\left( 5 \right)\left( 6 \right)\) suy ra \(\angle MNC = \angle MCA\)

Xét tam giác \(MNC\)và tam giác \(MCA\) có:\(\angle AMC\) chung, \(\angle MNC = \angle MCA\)(cmt)

Suy ra tam giác \(MNC\) và tam giác \(MCA\) đồng dạng.

Suy ra \(\dfrac{{MN}}{{MC}} = \dfrac{{MC}}{{MA}}\)

Do đó \(M{C^2} = MN.MA\) mà \(MC = MB\)

Vậy\(M{B^2} = MN.MA\) (đpcm)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link