a) Viết phương trình chính tắc của elip \((E)\), biết \((E)\) đi qua điểm \(A(0; - 4)\)

Câu hỏi số 766863:

Vận dụng

a) Viết phương trình chính tắc của elip \((E)\), biết \((E)\) đi qua điểm \(A(0; - 4)\) và có một tiêu điểm \({F_2}(3;0)\).

b) Động đất hay địa chấn là sự rung chuyển trên bề mặt Trái Đất do kết quả của sự geảai phóng năng lượng bất ngờ ở lớp vỏ Trái Đất và phát sinh ra sóng địa chấn (theo Wikipedia) với mô hình động đất được cho như hình:

Ngày 6/2/2023, một trận động đất cường độ 7,8 độ richter có tâm chấn tại Thồ Nhĩ Kì được mô tả bởi tâm I của đường tròn tác động \((C)\) trong mặt phẳng tọa độ Oxy (đơn vị trên hai trục tọa độ là ki-lô-mét). Biết rằng đường tròn tác động \((C)\) đi qua hai thành phố Kahramamaras và Nurdagi được mô tả bởi hai điểm \(K( - 3;10)\) và \(N(8;0)\); tâm chấn I có hoành độ dương và cách thành phố Aleppo của Syria được mô tả bởi điểm \(G\left( {9; - \dfrac{{17}}{4}} \right)\) là \(4\sqrt {10} \;{\rm{km}}\). Tìm bán kính (km) của đường tròn \((C)\) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:766863

Giải chi tiết

a) Phương trình chính tắc của elip có dạng \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,a > b > 0\)

Ta có tiêu điểm \({F_2}(3;0) \Rightarrow \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 3 \Leftrightarrow {a^2} - {b^2} = 9\)

\((E)\) đi qua điểm \(A(0; - 4)\) nên \(\dfrac{{{0^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{4^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow {b^2} = {4^2} = 16.\)

Suy ra \({a^2} = 9 + {b^2} = 9 + 16 = 25\)

Vậy phương trình chính tắc của elip là: \(\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)

b) Có phương trình đường tròn \((C)\) có dạng \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\).

\(K( - 3;10)\) và \(N(8;0)\) thuộc đường tròn \((C)\) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{( - 3 - a)^2} + {(10 - b)^2} = {R^2}\\{(8 - a)^2} + {b^2} = {R^2}\end{array} \right. \Rightarrow {( - 3 - a)^2} + {(10 - b)^2} = {(8 - a)^2} + {b^2}\)

Tâm chấn \(I(a;b)\) với \(a > 0\); \(G\left( {9; - \dfrac{{17}}{4}} \right)\).

Có \(IG = \sqrt {{{(9 - a)}^2} + {{\left( {\dfrac{{ - 17}}{4} - b} \right)}^2}} = 4\sqrt {10} \)

\( \Leftrightarrow {(9 - a)^2} + {\left( {\dfrac{{ - 17}}{4} - b} \right)^2} = 160\)

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}{( - 3 - a)^2} + {(10 - b)^2} = {(8 - a)^2} + {b^2}\\{(9 - a)^2} + {\left( {\dfrac{{ - 17}}{4} - b} \right)^2} = 160\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = \dfrac{{31}}{4}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {5;\dfrac{{31}}{4}} \right)\)

Bán kính đường tròn \((C)\) là \(R = IN = \sqrt {{{\left( {5 - 8} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{31}}{4}} \right)}^2}} \approx 8,31\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.