a) Viết phương trình chính tắc của elip \((E)\), biết \((E)\) đi qua điểm \(A(0; - 4)\)

Câu hỏi số 766863:

Vận dụng

a) Viết phương trình chính tắc của elip \((E)\), biết \((E)\) đi qua điểm \(A(0; - 4)\) và có một tiêu điểm \({F_2}(3;0)\).

b) Động đất hay địa chấn là sự rung chuyển trên bề mặt Trái Đất do kết quả của sự geảai phóng năng lượng bất ngờ ở lớp vỏ Trái Đất và phát sinh ra sóng địa chấn (theo Wikipedia) với mô hình động đất được cho như hình:

Ngày 6/2/2023, một trận động đất cường độ 7,8 độ richter có tâm chấn tại Thồ Nhĩ Kì được mô tả bởi tâm I của đường tròn tác động \((C)\) trong mặt phẳng tọa độ Oxy (đơn vị trên hai trục tọa độ là ki-lô-mét). Biết rằng đường tròn tác động \((C)\) đi qua hai thành phố Kahramamaras và Nurdagi được mô tả bởi hai điểm \(K( - 3;10)\) và \(N(8;0)\); tâm chấn I có hoành độ dương và cách thành phố Aleppo của Syria được mô tả bởi điểm \(G\left( {9; - \dfrac{{17}}{4}} \right)\) là \(4\sqrt {10} \;{\rm{km}}\). Tìm bán kính (km) của đường tròn \((C)\) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:766863

Giải chi tiết

a) Phương trình chính tắc của elip có dạng \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,a > b > 0\)

Ta có tiêu điểm \({F_2}(3;0) \Rightarrow \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 3 \Leftrightarrow {a^2} - {b^2} = 9\)

\((E)\) đi qua điểm \(A(0; - 4)\) nên \(\dfrac{{{0^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{4^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow {b^2} = {4^2} = 16.\)

Suy ra \({a^2} = 9 + {b^2} = 9 + 16 = 25\)

Vậy phương trình chính tắc của elip là: \(\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)

b) Có phương trình đường tròn \((C)\) có dạng \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\).

\(K( - 3;10)\) và \(N(8;0)\) thuộc đường tròn \((C)\) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{( - 3 - a)^2} + {(10 - b)^2} = {R^2}\\{(8 - a)^2} + {b^2} = {R^2}\end{array} \right. \Rightarrow {( - 3 - a)^2} + {(10 - b)^2} = {(8 - a)^2} + {b^2}\)

Tâm chấn \(I(a;b)\) với \(a > 0\); \(G\left( {9; - \dfrac{{17}}{4}} \right)\).

Có \(IG = \sqrt {{{(9 - a)}^2} + {{\left( {\dfrac{{ - 17}}{4} - b} \right)}^2}} = 4\sqrt {10} \)

\( \Leftrightarrow {(9 - a)^2} + {\left( {\dfrac{{ - 17}}{4} - b} \right)^2} = 160\)

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}{( - 3 - a)^2} + {(10 - b)^2} = {(8 - a)^2} + {b^2}\\{(9 - a)^2} + {\left( {\dfrac{{ - 17}}{4} - b} \right)^2} = 160\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = \dfrac{{31}}{4}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {5;\dfrac{{31}}{4}} \right)\)

Bán kính đường tròn \((C)\) là \(R = IN = \sqrt {{{\left( {5 - 8} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{31}}{4}} \right)}^2}} \approx 8,31\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10