Một bạn học sinh tham gia trả lời $5$ câu hỏi đố vui có thưởng, nếu đạt

Câu hỏi số 767298:

Vận dụng

Một bạn học sinh tham gia trả lời $5$ câu hỏi đố vui có thưởng, nếu đạt đúng $2$ điểm sẽ được nhận một món quà. Các câu hỏi được lựa chọn ngẫu nhiên, chia làm các mức độ dễ, trung bình, và khó với xác suất xuất hiện bằng nhau. Xác suất trả lời đúng câu hỏi dễ là $0,8;$ xác suất trả lời đúng câu hỏi trung bình là $0,6;$ xác suất trả lời đúng câu hỏi khó là $0,15.$ Trả lời đúng mỗi câu dễ được $0,1$ điểm, mỗi câu trung bình được $0,25$ điểm, mỗi câu khó được $0,5$ điểm. Giả sử bạn học sinh đó trả lời ngẫu nhiên các câu hỏi. Xác suất để bạn học sinh đó được nhận quà gần nhất với kết quả nào dưới đây?

A. $0,0065\%$

B. $0,1949\%$

C. $0,0050\%$

D. $0,0015\%$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:767298

Phương pháp giải

Sử dụng công thức xác suất toàn phần: Tính xác suất đối với một câu hỏi bất kỳ, học sinh đạt được $0,5$ điểm; $0,25$ điểm; $0,1$ điểm hoặc $0$ điểm. (Lưu ý phải nhân với xác suất bốc trúng loại câu hỏi đó).

Thiết lập phương trình nghiệm nguyên: Gọi số câu đạt $0,5$ điểm, $0,25$ điểm, $0,1$ điểm và $0$ điểm lần lượt là $x, y, z, w$. Tìm các bộ nghiệm nguyên không âm thỏa mãn tổng số câu là $5$ và tổng điểm là $2$.

Áp dụng quy tắc nhân và tổ hợp (Công thức Bernoulli mở rộng): Với mỗi bộ nghiệm tìm được (mỗi trường hợp), tính xác suất tương ứng bằng cách nhân xác suất từng điểm số với số cách xếp thứ tự (tổ hợp) các câu hỏi đó.

Áp dụng quy tắc cộng: Cộng xác suất của tất cả các trường hợp thỏa mãn để ra kết quả cuối cùng.

Giải chi tiết

Vì hệ thống chọn ngẫu nhiên các loại câu hỏi với xác suất bằng nhau nên xác suất để một câu hỏi là Dễ, Trung bình hay Khó đều là $\dfrac{1}{3}$.

Xác suất để ở một câu hỏi bất kỳ, học sinh nhận được các mức điểm là:

Xác suất nhận $0,5$ điểm (Câu Khó và làm đúng): $P_{0,5} = \dfrac{1}{3} \cdot 0,15 = 0,05 = \dfrac{1}{20}$

Xác suất nhận $0,25$ điểm (Câu TB và làm đúng): $P_{0,25} = \dfrac{1}{3} \cdot 0,6 = 0,2 = \dfrac{1}{5}$

Xác suất nhận $0,1$ điểm (Câu Dễ và làm đúng): $P_{0,1} = \dfrac{1}{3} \cdot 0,8 = \dfrac{4}{15}$

Xác suất nhận $0$ điểm (Làm sai, bất kể là loại câu nào):

P_{0} = 1 - \left( \frac{1}{20} + \frac{1}{5} + \frac{4}{15} \right) = \frac{29}{60}

Gọi $x, y, z, w$ lần lượt là số câu được $0,5$; $0,25$; $0,1$ và $0$ điểm $(x, y, z, w \in \mathbb{N}; x+y+z+w = 5)$.

Ta có phương trình tổng điểm:

0,5x + 0,25y + 0,1z = 2

\Leftrightarrow 10x + 5y + 2z = 40

Do $x, y, z \le 5$, ta thử các giá trị của $x$:

Nếu $x = 4$: $40 + 5y + 2z = 40 \Rightarrow y = 0, z = 0$.

Suy ra $w = 1$. (Thỏa mãn tổng 5 câu)

Nếu $x = 3$: $30 + 5y + 2z = 40 \Rightarrow 5y + 2z = 10 \Rightarrow y = 2, z = 0$.

Suy ra $w = 0$. (Thỏa mãn tổng 5 câu)

Nếu $x \le 2$: Dễ dàng kiểm tra không có bộ nghiệm nguyên nào thỏa mãn tổng số câu bằng 5.

Vậy có $2$ trường hợp xảy ra:

Trường hợp 1: $4$ câu $0,5$ điểm và $1$ câu $0$ điểm.

Trường hợp 2: $3$ câu $0,5$ điểm và $2$ câu $0,25$ điểm.

Xác suất Trường hợp 1: Chọn 4 vị trí cho câu $0,5$ điểm trong 5 câu, 1 vị trí còn lại cho câu $0$ điểm:

P_1 = C_5^4 \cdot (P_{0,5})^4 \cdot (P_0)^1 = 5 \cdot \left(\frac{1}{20}\right)^4 \cdot \frac{29}{60} = \frac{29}{1920000} \approx 1,51 \cdot 10^{-5}

Xác suất Trường hợp 2: Chọn 3 vị trí cho câu $0,5$ điểm trong 5 câu, 2 vị trí còn lại cho câu $0,25$ điểm:

P_2 = C_5^3 \cdot (P_{0,5})^3 \cdot (P_{0,25})^2 = 10 \cdot \left(\frac{1}{20}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^2 = \frac{1}{20000} = \frac{96}{1920000} = 5 \cdot 10^{-5}

Xác suất cần tìm là:

P = P_1 + P_2 = \frac{29}{1920000} + \frac{96}{1920000} = \frac{125}{1920000} = \frac{1}{1536}

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.