a) Giải phương trình \({x^2} + \sqrt {{x^2} + x + 3} = x + 2 + \sqrt {2x + 5} \).b) Giải hệ phương

Câu hỏi số 768480:

Vận dụng

a) Giải phương trình \({x^2} + \sqrt {{x^2} + x + 3} = x + 2 + \sqrt {2x + 5} \).
b) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3xy + {y^2} + 2x - 10y - 1 = 0}\\{\left( {3xy + {y^2}} \right)\left( {2x - 1} \right) - 21{y^2} = 0}\end{array}} \right.\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:768480

Phương pháp giải

a) Đưa phương trình về dạng phương trình tích.

b) Biến đổi hệ phương trình bằng đặt ẩn phụ, giải từng bước.

Giải chi tiết

a) \({x^2} + x + 3 = {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{11}}{4} > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Điều kiện: \(2x + 5 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - \dfrac{5}{2}\).
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 + \sqrt {{x^2} + x + 3} - \sqrt {2x + 5} = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 + \dfrac{{\left( {{x^2} + x + 3} \right) - \left( {2x + 5} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + x + 3} + \sqrt {2x + 5} }} = 0\)

\(\; \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 + \dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{\sqrt {{x^2} + x + 3} + \sqrt {2x + 5} }} = 0\)

\(\; \Leftrightarrow \left( {{x^2} - x - 2} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + x + 3} + \sqrt {2x + 5} }}} \right) = 0\)

\(\; \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0\) (vì \(1 + \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + x + 3} + \sqrt {2x + 5} }} > 0\) với mọi \(x \ge - \dfrac{5}{2}\))

Phương trình này có 2 nghiệm: \(x = - 1,x = 2\) (thỏa mãn điều kiện).
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: \(x = - 1,x = 2\).

b) Xét \(y = 0\): Hệ có nghiệm \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \dfrac{1}{2}}\\{y = 0}\end{array}} \right.\)

Xét \(y \ne 0:\) Hệ \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {3xy + {y^2}} \right) + \left( {2x - 1} \right) = 10y}\\{\left( {3xy + {y^2}} \right)\left( {2x - 1} \right) = 21{y^2}}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{3xy + {y^2}}}{y} + \dfrac{{2x - 1}}{y} = 10}\\{\left( {\dfrac{{3xy + {y^2}}}{y}} \right)\left( {\dfrac{{2x - 1}}{y}} \right) = 21}\end{array}} \right.\) (2)

Đặt \(a = \dfrac{{3xy + {y^2}}}{y},b = \dfrac{{2x - 1}}{y}\), hệ (2) trở thành: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = 10}\\{ab = 21}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 7}\\{b = 3}\end{array}} \right.\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 3}\\{b = 7}\end{array}} \right.\)
Với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 7}\\{b = 3}\end{array}} \right.\), ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{3xy + {y^2}}}{y} = 7}\\{\dfrac{{2x - 1}}{y} = 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3xy + {y^2} = 7y}\\{2x - 1 = 3y}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + y = 7}\\{2x - 3y = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 1}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.\)

Với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 3}\\{b = 7}\end{array}} \right.\), ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{3xy + {y^2}}}{y} = 3}\\{\dfrac{{2x - 1}}{y} = 7}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3xy + {y^2} = 3y}\\{2x - 1 = 7y}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + y = 3}\\{2x - 7y = 1}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \dfrac{{22}}{{23}}}\\{y = \dfrac{3}{{23}}}\end{array}} \right.\)
Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \dfrac{1}{2}}\\{y = 0}\end{array},\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 1}\end{array},} \right.} \right.\)\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \dfrac{{22}}{{23}}}\\{y = \dfrac{3}{{23}}}\end{array}} \right.\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link