a) Giải phương trình \({x^2} + \sqrt {{x^2} + x + 3} = x + 2 + \sqrt {2x + 5} \).b) Giải hệ phương

Câu hỏi số 768480:

Vận dụng

a) Giải phương trình \({x^2} + \sqrt {{x^2} + x + 3} = x + 2 + \sqrt {2x + 5} \).
b) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3xy + {y^2} + 2x - 10y - 1 = 0}\\{\left( {3xy + {y^2}} \right)\left( {2x - 1} \right) - 21{y^2} = 0}\end{array}} \right.\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:768480

Phương pháp giải

a) Đưa phương trình về dạng phương trình tích.

b) Biến đổi hệ phương trình bằng đặt ẩn phụ, giải từng bước.

Giải chi tiết

a) \({x^2} + x + 3 = {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{11}}{4} > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Điều kiện: \(2x + 5 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - \dfrac{5}{2}\).
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 + \sqrt {{x^2} + x + 3} - \sqrt {2x + 5} = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 + \dfrac{{\left( {{x^2} + x + 3} \right) - \left( {2x + 5} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + x + 3} + \sqrt {2x + 5} }} = 0\)

\(\; \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 + \dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{\sqrt {{x^2} + x + 3} + \sqrt {2x + 5} }} = 0\)

\(\; \Leftrightarrow \left( {{x^2} - x - 2} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + x + 3} + \sqrt {2x + 5} }}} \right) = 0\)

\(\; \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0\) (vì \(1 + \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + x + 3} + \sqrt {2x + 5} }} > 0\) với mọi \(x \ge - \dfrac{5}{2}\))

Phương trình này có 2 nghiệm: \(x = - 1,x = 2\) (thỏa mãn điều kiện).
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: \(x = - 1,x = 2\).

b) Xét \(y = 0\): Hệ có nghiệm \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \dfrac{1}{2}}\\{y = 0}\end{array}} \right.\)

Xét \(y \ne 0:\) Hệ \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {3xy + {y^2}} \right) + \left( {2x - 1} \right) = 10y}\\{\left( {3xy + {y^2}} \right)\left( {2x - 1} \right) = 21{y^2}}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{3xy + {y^2}}}{y} + \dfrac{{2x - 1}}{y} = 10}\\{\left( {\dfrac{{3xy + {y^2}}}{y}} \right)\left( {\dfrac{{2x - 1}}{y}} \right) = 21}\end{array}} \right.\) (2)

Đặt \(a = \dfrac{{3xy + {y^2}}}{y},b = \dfrac{{2x - 1}}{y}\), hệ (2) trở thành: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = 10}\\{ab = 21}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 7}\\{b = 3}\end{array}} \right.\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 3}\\{b = 7}\end{array}} \right.\)
Với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 7}\\{b = 3}\end{array}} \right.\), ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{3xy + {y^2}}}{y} = 7}\\{\dfrac{{2x - 1}}{y} = 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3xy + {y^2} = 7y}\\{2x - 1 = 3y}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + y = 7}\\{2x - 3y = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 1}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.\)

Với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 3}\\{b = 7}\end{array}} \right.\), ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{3xy + {y^2}}}{y} = 3}\\{\dfrac{{2x - 1}}{y} = 7}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3xy + {y^2} = 3y}\\{2x - 1 = 7y}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + y = 3}\\{2x - 7y = 1}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \dfrac{{22}}{{23}}}\\{y = \dfrac{3}{{23}}}\end{array}} \right.\)
Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \dfrac{1}{2}}\\{y = 0}\end{array},\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 1}\end{array},} \right.} \right.\)\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \dfrac{{22}}{{23}}}\\{y = \dfrac{3}{{23}}}\end{array}} \right.\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link