1) Tìm tất cả các số nguyên dương \(x,y\) thỏa mãn \(\left( {{x^2} - x - 1} \right)\left( {{y^2} + xy -

Câu hỏi số 768486:

Vận dụng

1) Tìm tất cả các số nguyên dương \(x,y\) thỏa mãn \(\left( {{x^2} - x - 1} \right)\left( {{y^2} + xy - 9} \right) = 2x + 1\).

2) Cho số nguyên tố lẻ \(p\) và số nguyên dương \(a\) thỏa mãn: \({a^p} - 1\) chia hết cho \({p^3}\). Chứng minh rằng \(a - 1\) chia hết cho \({p^2}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:768486

Phương pháp giải

1) Vì \(\left( {{x^2} - x - 1} \right)\left( {{y^2} + xy - 9} \right) = 2x + 1\) nên \(\left( {2x + 1} \right) \vdots \left( {{x^2} - x - 1} \right)\). Từ đó ta phân tích.

2) Ta có \({a^p} \equiv 1\left( {\bmod \,p} \right)\) do \({a^p} \equiv 1\left( {{\rm{mod}}\,{p^3}} \right)\). Theo định lý Fermat nhỏ thì \({a^p} \equiv a\left( {{\rm{mod}}\,p} \right)\)
Từ đó thì \(a \equiv 1\left( {{\rm{mod}}\,p} \right)\)
Đặt \(a = 1 + kp\) với \(k\) nguyên dương.

Giải chi tiết

1) Vì \(\left( {{x^2} - x - 1} \right)\left( {{y^2} + xy - 9} \right) = 2x + 1\) nên \(\left( {2x + 1} \right) \vdots \left( {{x^2} - x - 1} \right)\)
Do \(2x + 1 > 0\) nên \(2x + 1 \ge {x^2} - x - 1 \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 2 \le 0\).
Nếu \(x \ge 4\) thì \({x^2} - 3x \ge 4.1 = 4\). Loại. Suy ra \(x \in \left\{ {1;2,3} \right\}\)
Nếu \(x = 1\) thì \( - \left( {{y^2} + y - 9} \right) = 3\) nên \({y^2} + y - 6 = 0\), ta được \(y = 2\).
Nếu \(x = 2 \Rightarrow {y^2} + 2y - 14 = 0 \Leftrightarrow y = - 1 \pm \sqrt {15} \) (loại do \(y\) nguyên dương).
Nếu \(x = 3\) thì \(5\left( {{y^2} + 3y - 9} \right) = 7\). Mâu thuẫn do 7 không chia hết cho 5
Vậy các số nguyên dương thỏa mãn đề bài là \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;2} \right)\)

2) Ta có \({a^p} \equiv 1\left( {\bmod \,p} \right)\) do \({a^p} \equiv 1\left( {{\rm{mod}}\,{p^3}} \right)\)
Theo định lý Fermat nhỏ thì \({a^p} \equiv a\left( {{\rm{mod}}\,p} \right)\)
Từ đó thì \(a \equiv 1\left( {{\rm{mod}}\,p} \right)\)
Đặt \(a = 1 + kp\) với \(k\) nguyên dương.

Ta có \({a^p} - 1 = \left( {a - 1} \right).S\) với

\(S = {a^{p - 1}} + {a^{p - 2}} + \cdots + a + 1\)

\(\; = \left( {{a^{p - 1}} - 1} \right) + \left( {{a^{p - 2}} - 1} \right) + \cdots + \left( {a - 1} \right) + p\)

\(\; = \left( {a - 1} \right)\left[ {\left( {{a^{p - 2}} + {a^{p - 3}} + {a^{p - 4}} + \cdots + a + 1} \right) + \left( {{a^{p - 3}} + {a^{p - 4}} + \cdots + a + 1} \right)} \right.\) \( + \left( {{a^{p - 4}} + {a^{p - 5}} + \cdots + a + 1} \right) + \cdots + \left( {a + 1} \right) + 1\)

Vậy \(S = \left( {a - 1} \right) \cdot Q + p\) với \(Q = {a^{p - 2}} + 2{a^{p - 3}} + 3{a^{p - 4}} + \cdots + \left( {p - 2} \right)a + \left( {p - 1} \right)\)
Mặt khác \(a \equiv 1\left( {{\rm{mod}}\,p} \right)\) nên \(Q \equiv 1 + 2 + 3 + \cdots + \left( {p - 1} \right) = \dfrac{{\left( {p - 1} \right)p}}{2} \equiv 0\left( {{\rm{mod}}\,p} \right)\)

Tức là \(S \equiv p\left( {{\rm{mod}}\,{p^2}} \right)\), tức là \(S = p + m{p^2}\) suy ra \({a^p} - 1 = kp\left( {p + m{p^2}} \right) = k{p^2} + km{p^3}\)

Giả sử \(k\) không chia hết cho \(p\) thì \({a^p} - 1\) không chia hết cho \({p^3}\) (mâu thuẫn giả thiết)

Điều giả sử là sai, suy ra \(k\) chia hết cho \(p\) hay \(a - 1\) chia hết cho \({p^2}\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link