1) Tìm tất cả các số nguyên dương \(x,y\) thỏa mãn \(\left( {{x^2} - x - 1} \right)\left( {{y^2} + xy -

Câu hỏi số 768486:

Vận dụng

1) Tìm tất cả các số nguyên dương \(x,y\) thỏa mãn \(\left( {{x^2} - x - 1} \right)\left( {{y^2} + xy - 9} \right) = 2x + 1\).

2) Cho số nguyên tố lẻ \(p\) và số nguyên dương \(a\) thỏa mãn: \({a^p} - 1\) chia hết cho \({p^3}\). Chứng minh rằng \(a - 1\) chia hết cho \({p^2}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:768486

Phương pháp giải

1) Vì \(\left( {{x^2} - x - 1} \right)\left( {{y^2} + xy - 9} \right) = 2x + 1\) nên \(\left( {2x + 1} \right) \vdots \left( {{x^2} - x - 1} \right)\). Từ đó ta phân tích.

2) Ta có \({a^p} \equiv 1\left( {\bmod \,p} \right)\) do \({a^p} \equiv 1\left( {{\rm{mod}}\,{p^3}} \right)\). Theo định lý Fermat nhỏ thì \({a^p} \equiv a\left( {{\rm{mod}}\,p} \right)\)
Từ đó thì \(a \equiv 1\left( {{\rm{mod}}\,p} \right)\)
Đặt \(a = 1 + kp\) với \(k\) nguyên dương.

Giải chi tiết

1) Vì \(\left( {{x^2} - x - 1} \right)\left( {{y^2} + xy - 9} \right) = 2x + 1\) nên \(\left( {2x + 1} \right) \vdots \left( {{x^2} - x - 1} \right)\)
Do \(2x + 1 > 0\) nên \(2x + 1 \ge {x^2} - x - 1 \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 2 \le 0\).
Nếu \(x \ge 4\) thì \({x^2} - 3x \ge 4.1 = 4\). Loại. Suy ra \(x \in \left\{ {1;2,3} \right\}\)
Nếu \(x = 1\) thì \( - \left( {{y^2} + y - 9} \right) = 3\) nên \({y^2} + y - 6 = 0\), ta được \(y = 2\).
Nếu \(x = 2 \Rightarrow {y^2} + 2y - 14 = 0 \Leftrightarrow y = - 1 \pm \sqrt {15} \) (loại do \(y\) nguyên dương).
Nếu \(x = 3\) thì \(5\left( {{y^2} + 3y - 9} \right) = 7\). Mâu thuẫn do 7 không chia hết cho 5
Vậy các số nguyên dương thỏa mãn đề bài là \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;2} \right)\)

2) Ta có \({a^p} \equiv 1\left( {\bmod \,p} \right)\) do \({a^p} \equiv 1\left( {{\rm{mod}}\,{p^3}} \right)\)
Theo định lý Fermat nhỏ thì \({a^p} \equiv a\left( {{\rm{mod}}\,p} \right)\)
Từ đó thì \(a \equiv 1\left( {{\rm{mod}}\,p} \right)\)
Đặt \(a = 1 + kp\) với \(k\) nguyên dương.

Ta có \({a^p} - 1 = \left( {a - 1} \right).S\) với

\(S = {a^{p - 1}} + {a^{p - 2}} + \cdots + a + 1\)

\(\; = \left( {{a^{p - 1}} - 1} \right) + \left( {{a^{p - 2}} - 1} \right) + \cdots + \left( {a - 1} \right) + p\)

\(\; = \left( {a - 1} \right)\left[ {\left( {{a^{p - 2}} + {a^{p - 3}} + {a^{p - 4}} + \cdots + a + 1} \right) + \left( {{a^{p - 3}} + {a^{p - 4}} + \cdots + a + 1} \right)} \right.\) \( + \left( {{a^{p - 4}} + {a^{p - 5}} + \cdots + a + 1} \right) + \cdots + \left( {a + 1} \right) + 1\)

Vậy \(S = \left( {a - 1} \right) \cdot Q + p\) với \(Q = {a^{p - 2}} + 2{a^{p - 3}} + 3{a^{p - 4}} + \cdots + \left( {p - 2} \right)a + \left( {p - 1} \right)\)
Mặt khác \(a \equiv 1\left( {{\rm{mod}}\,p} \right)\) nên \(Q \equiv 1 + 2 + 3 + \cdots + \left( {p - 1} \right) = \dfrac{{\left( {p - 1} \right)p}}{2} \equiv 0\left( {{\rm{mod}}\,p} \right)\)

Tức là \(S \equiv p\left( {{\rm{mod}}\,{p^2}} \right)\), tức là \(S = p + m{p^2}\) suy ra \({a^p} - 1 = kp\left( {p + m{p^2}} \right) = k{p^2} + km{p^3}\)

Giả sử \(k\) không chia hết cho \(p\) thì \({a^p} - 1\) không chia hết cho \({p^3}\) (mâu thuẫn giả thiết)

Điều giả sử là sai, suy ra \(k\) chia hết cho \(p\) hay \(a - 1\) chia hết cho \({p^2}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link