Tìm $m$ để giá trị nhỏ nhất hàm số $f(x) = x^{2} + \dfrac{m}{x} + m$ trên $\left(

Câu hỏi số 774698:

Vận dụng

Tìm $m$ để giá trị nhỏ nhất hàm số $f(x) = x^{2} + \dfrac{m}{x} + m$ trên $\left( {0; + \infty} \right)$ bằng 176. (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

Đáp án đúng là: 128

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:774698

Phương pháp giải

Vẽ bảng biến thiên của hàm số cho từng trường hợp của $m$.

Giải chi tiết

Với $m = 0$, hàm số $f(x) = x^{2}$ không có giá trị nhỏ nhất trên $\left( {0; + \infty} \right)$.

Với $m < 0$, có $\left. \lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{m}{x} = - \infty\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\left( {x^{2} + \dfrac{m}{x} + m} \right) = - \infty \right.$ nên hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên $\left( {0; + \infty} \right)$.

Với $m > 0$, ta xét hàm số:

$f'(x) = 2x - \dfrac{m}{x^{2}}$. Cho $\left. f'(x) = 0\Leftrightarrow\dfrac{2x^{3} - m}{x^{2}} = 0\Leftrightarrow x = \sqrt[3]{\dfrac{m}{2}} \right.$

Khi đó, vẽ bảng biến thiên, ta thấy hàm số đã cho đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = \sqrt[3]{\dfrac{m}{2}}$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là $f\left( \sqrt[3]{\dfrac{m}{2}} \right) = \sqrt[3]{\dfrac{m^{2}}{4}} + \sqrt[3]{2m^{2}} + m = m + \dfrac{3}{2}\sqrt[3]{2m^{2}}$

Cho $\left. m + \dfrac{3}{2}\sqrt[3]{2m^{2}} = 176\Leftrightarrow 2.\dfrac{m}{2} + 3\sqrt[3]{\left( \dfrac{m}{2} \right)^{2}} = 176 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left( {\sqrt[3]{\dfrac{m}{2}} - 4} \right)\left( {2\left( \sqrt[3]{\dfrac{m}{2}} \right)^{2} + 11\sqrt[3]{\dfrac{m}{2}} + 44} \right) = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\sqrt[3]{\dfrac{m}{2}} = 4\Leftrightarrow m = 128 \right.$

Đáp án cần điền là: 128

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.