Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình sau

Câu hỏi số 776778:

Vận dụng

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình sau có nghiệm:

$\left( {x\sqrt{x} + \sqrt{x + 12}} \right) \leq m.\log_{5 - \sqrt{4 - x}}3$.

A. $m > 2\sqrt{3}$

B. $m \geq 2\sqrt{3}$

C. $m \geq 12\log_{3}5$

D. $2\sqrt{3} \leq m \leq 12\log_{3}5$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:776778

Phương pháp giải

BPT $\left. \Leftrightarrow f(x) = \log_{3}\left( {5 - \sqrt{4 - x}} \right).\left( {x\sqrt{x} + \sqrt{x + 12}} \right) \leq m \right.$

BPT có nghiệm $\left. \Rightarrow m \geq \min\limits_{\lbrack{0;4}\rbrack}f(x) \right.$

Chứng minh hàm $f(x)$ đồng biến trên (0;4) từ đó suy ra GTNN của $f(x)$

Giải chi tiết

Điều kiện: $x \in \left\lbrack {0;4} \right\rbrack$

BPT $\left. \Leftrightarrow f(x) = \log_{3}\left( {5 - \sqrt{4 - x}} \right).\left( {x\sqrt{x} + \sqrt{x + 12}} \right) \leq m \right.$

BPT có nghiệm $\left. \Rightarrow m \geq \min\limits_{\lbrack{0;4}\rbrack}f(x) \right.$

Với $4 \geq x_{1} \geq x_{2} \geq 0$

$\left. \Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x_{1}\sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{1} + 12} > x_{2}\sqrt{x_{2}} + \sqrt{x_{2} + 12}} \\ {5 - \sqrt{4 - x_{1}} > 5 - \sqrt{4 - x_{2}}} \end{array} \right. \right.$

$\left. \Rightarrow f\left( x_{1} \right) \geq f\left( x_{2} \right)\Rightarrow f(x) \right.$ đồng biến trên $\left\lbrack {0;4} \right\rbrack$

$\left. \Rightarrow\min\limits_{x \in {\lbrack{0;3}\rbrack}}f(x) = f(0) = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \right.$

Vậy điều kiện của m để bất phương trình có nghiệm là $m \geq 2\sqrt{3}$.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.