Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC và tam giác này nội tiếp đường tròn (O;R). Kẻ ba

Câu hỏi số 776864:

Vận dụng

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC và tam giác này nội tiếp đường tròn (O;R). Kẻ ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh 4 điểm B, F, E, C cùng thuộc một đường tròn.

b) Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại K. Chứng minh KE.KF=KB.KC.

c) Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFEC và M là giao điểm của AK và đường tròn (O;R). Chứng minh $\widehat{KAC} = \widehat{KFM}$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:776864

Phương pháp giải

a) $\Delta BFC;\,\,\Delta BEC$ vuông nên ta chứng minh được 4 điểm B, E, F, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC.

b) Chứng minh $\Delta KBF \backsim \Delta KEC\left( {g.g} \right)$ từ đó suy ra cặp đoạn thẳng tỉ lệ $\dfrac{KB}{KF} = \dfrac{KE}{KC}$

c) Chứng minh $\left. \Delta KFM \backsim \Delta KAE\left( {c.g.c} \right)\Rightarrow\widehat{KAC} = \widehat{KFM} \right.$

Giải chi tiết

a) Xét $\Delta ABC$có:

CF là đường cao (gt) nên $CF\bot AB$

Suy ra $\Delta BFC$ vuông tại F

Khi đó 3 điểm B,F,C thuộc đường tròn đường kính BC (1)

Chứng minh tương tự: 3 điểm B,E,C thuộc đường tròn đường kính BC (2)

Từ (1),(2) suy ra 4 điểm B,F,E,C cùng thuộc một đường tròn đường kính BC (đpcm).

b) Xét $\Delta AFC$ và $\Delta AEB$ có:

$\widehat{A}$chung

$\widehat{AFC} = \widehat{AEB} = 90^{0}$

Suy ra $\Delta AFC \backsim \Delta AEB\left( {g.g} \right)$

Khi đó $\dfrac{AF}{AC} = \dfrac{AE}{AB}$(các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) hay $\dfrac{AF}{AE} = \dfrac{AC}{AB}$

Suy ra $\Delta AEF \backsim \Delta ABC\left( {c.g.c} \right)$ do đó $\widehat{AFE} = \widehat{ACB}$(các góc tương ứng bằng nhau)

Mà $\widehat{AFE} = \widehat{KFB}$(2 góc đối đỉnh) nên $\widehat{KFB} = \widehat{ACB}$ hay $\widehat{KFB} = \widehat{KCE}$(đpcm).

Vì $\left. \Delta AEF \backsim \Delta ABC\left( {c.g.c} \right)\Rightarrow\widehat{AEF} = \widehat{ABC} \right.$ (các góc tương ứng bằng nhau) hay $\widehat{AEF} = \widehat{FBC}$

Xét $\Delta KBF$ và $\Delta KEC$ có:

$\widehat{BKF}$ chung

$\widehat{KFB} = \widehat{KCE}$(cmt)

Suy ra $\Delta KBF \backsim \Delta KEC\left( {g.g} \right)$

$\left. \Rightarrow\dfrac{KB}{KF} = \dfrac{KE}{KC} \right.$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) hay $KE.KF = KB.KC$(đpcm)

Vì 4 điểm A,M,B,C cùng thuộc một đường tròn (O) (gt)

$\left. \Rightarrow AMBC \right.$ là tứ giác nội tiếp (dhnb)

$\left. \Rightarrow\widehat{KAC} + \widehat{MBC} = 180^{0} \right.$

Mà $\widehat{MBC} + \widehat{KBM} = 180^{0}$(2 góc kề bù)

$\left. \Rightarrow\widehat{KAC} = \widehat{KBM} \right.$, mặt khác $\widehat{AKB}$ chung

$\left. \Rightarrow\Delta KMB \backsim \Delta KCA\left( {g.g} \right)\Rightarrow\dfrac{KM}{KC} = \dfrac{KB}{KA} \right.$(các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\left. \dfrac{KM}{KC} = \dfrac{KB}{KA}\Rightarrow KM.KA = KB.KC \right.$ mà $KE.KF = KB.KC\left( {cmt} \right)$

$\left. \Rightarrow KM.KA = KE.KF\Rightarrow\dfrac{KA}{KE} = \dfrac{KF}{KM}\Rightarrow\Delta KFM \backsim \Delta KAE\left( {c.g.c} \right)\Rightarrow\widehat{KAC} = \widehat{KFM} \right.$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link