a) Tìm các điểm M thuộc $\left( \text{P} \right):y = \dfrac{- 1}{4}x^{2}$ có tung độ gấp 2 lần hoành

Câu hỏi số 777306:

Vận dụng

a) Tìm các điểm M thuộc $\left( \text{P} \right):y = \dfrac{- 1}{4}x^{2}$ có tung độ gấp 2 lần hoành độ và khác 0.
b) Cho phương trình $x^{2} - x - 10 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1};x_{2}$. Không giải phương trình, hãy tính $x_{1}^{3} + x_{2}^{3}$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:777306

Phương pháp giải

a) Biểu diễn điểm có tung độ gấp 2 lần hoành độ.

Thay vào hàm số $y = \dfrac{- 1}{4}x^{2}$ để tìm M.
b) Dùng $ac < 0$ để xác định số nghiệm của phương trình.

Tính tổng và tích của hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ theo định lí Viète: $\left\{ \begin{array}{l} {S = x_{1} + x_{2} = \dfrac{- b}{a}} \\ {P = x_{1}x_{2} = \dfrac{c}{a}} \end{array} \right.$.
Biến đổi biểu thức để xuất hiện tổng và tích của hai nghiệm.

Giải chi tiết

a) Điểm có tung độ gấp 2 lần hoành độ có toạ độ $M\left( {x_{0};y_{0}} \right) = M\left( {x_{0};2x_{0}} \right)$

Vì $y_{0} = 2x_{0}$ nên $- \dfrac{1}{4}x_{0}^{2} = 2x_{0}$
$- \dfrac{1}{4}x_{0}^{2} - 2x_{0} = 0$
$x_{0}~^{2} + 8x_{0} = 0$
$x_{0}\left( {x_{0} + 8} \right) = 0$
$x_{0} = 0$ hoặc $x_{0} = - 8$
suy ra $y_{0} = 0$ hoặc $y_{0} = - 16$
Ta được $M\left( {0;0} \right)$ (loại) hoặc $M\left( {- 8; - 16} \right)$.
Vậy $M\left( {- 8; - 16} \right)$.

b) Vì $ac = 1.\left( {- 10} \right) = - 10 < 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1};x_{2}$.

Áp dụng định lí Viète, ta có: $\left\{ \begin{array}{l} {S = x_{1} + x_{2} = \dfrac{- \left( {- 1} \right)}{1} = 1} \\ {P = x_{1}x_{2} = \dfrac{- 10}{1} = - 10} \end{array} \right.$

Ta có:

$x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = \left( {x_{1} + x_{2}} \right)\left( {x_{1}^{2} - x_{1}x_{2} + x_{2}^{2}} \right)$

$~ = \left( {x_{1} + x_{2}} \right)\left( {x_{1}^{2} + 2x_{1}x_{2} + x_{2}^{2} - 3x_{1}x_{2}} \right)$

$~ = \left( {x_{1} + x_{2}} \right)\left\lbrack {\left( {x_{1}^{2} + 2x_{1}x_{2} + x_{2}^{2}} \right) - 3x_{1}x_{2}} \right\rbrack$

$~ = \left( {x_{1} + x_{2}} \right)\left\lbrack {\left( {x_{1} + x_{2}} \right)^{2} - 3x_{1}x_{2}} \right\rbrack$

$~ = 1 \cdot \left\lbrack {1^{2} - 3 \cdot \left( {- 10} \right)} \right\rbrack$

$~ = 1 + 30$

$~ = 31$

Vậy $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = 31$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link