a) Tìm các điểm M thuộc $\left( \text{P} \right):y = \dfrac{- 1}{4}x^{2}$ có tung độ gấp 2 lần hoành

Câu hỏi số 777306:

Vận dụng

a) Tìm các điểm M thuộc $\left( \text{P} \right):y = \dfrac{- 1}{4}x^{2}$ có tung độ gấp 2 lần hoành độ và khác 0.
b) Cho phương trình $x^{2} - x - 10 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1};x_{2}$. Không giải phương trình, hãy tính $x_{1}^{3} + x_{2}^{3}$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:777306

Phương pháp giải

a) Biểu diễn điểm có tung độ gấp 2 lần hoành độ.

Thay vào hàm số $y = \dfrac{- 1}{4}x^{2}$ để tìm M.
b) Dùng $ac < 0$ để xác định số nghiệm của phương trình.

Tính tổng và tích của hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ theo định lí Viète: $\left\{ \begin{array}{l} {S = x_{1} + x_{2} = \dfrac{- b}{a}} \\ {P = x_{1}x_{2} = \dfrac{c}{a}} \end{array} \right.$.
Biến đổi biểu thức để xuất hiện tổng và tích của hai nghiệm.

Giải chi tiết

a) Điểm có tung độ gấp 2 lần hoành độ có toạ độ $M\left( {x_{0};y_{0}} \right) = M\left( {x_{0};2x_{0}} \right)$

Vì $y_{0} = 2x_{0}$ nên $- \dfrac{1}{4}x_{0}^{2} = 2x_{0}$
$- \dfrac{1}{4}x_{0}^{2} - 2x_{0} = 0$
$x_{0}~^{2} + 8x_{0} = 0$
$x_{0}\left( {x_{0} + 8} \right) = 0$
$x_{0} = 0$ hoặc $x_{0} = - 8$
suy ra $y_{0} = 0$ hoặc $y_{0} = - 16$
Ta được $M\left( {0;0} \right)$ (loại) hoặc $M\left( {- 8; - 16} \right)$.
Vậy $M\left( {- 8; - 16} \right)$.

b) Vì $ac = 1.\left( {- 10} \right) = - 10 < 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1};x_{2}$.

Áp dụng định lí Viète, ta có: $\left\{ \begin{array}{l} {S = x_{1} + x_{2} = \dfrac{- \left( {- 1} \right)}{1} = 1} \\ {P = x_{1}x_{2} = \dfrac{- 10}{1} = - 10} \end{array} \right.$

Ta có:

$x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = \left( {x_{1} + x_{2}} \right)\left( {x_{1}^{2} - x_{1}x_{2} + x_{2}^{2}} \right)$

$~ = \left( {x_{1} + x_{2}} \right)\left( {x_{1}^{2} + 2x_{1}x_{2} + x_{2}^{2} - 3x_{1}x_{2}} \right)$

$~ = \left( {x_{1} + x_{2}} \right)\left\lbrack {\left( {x_{1}^{2} + 2x_{1}x_{2} + x_{2}^{2}} \right) - 3x_{1}x_{2}} \right\rbrack$

$~ = \left( {x_{1} + x_{2}} \right)\left\lbrack {\left( {x_{1} + x_{2}} \right)^{2} - 3x_{1}x_{2}} \right\rbrack$

$~ = 1 \cdot \left\lbrack {1^{2} - 3 \cdot \left( {- 10} \right)} \right\rbrack$

$~ = 1 + 30$

$~ = 31$

Vậy $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = 31$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link