Một cửa hàng xăng dầu cần xây một bồn chứa dầu hình trụ bằng thép

Câu hỏi số 779667:

Vận dụng

Một cửa hàng xăng dầu cần xây một bồn chứa dầu hình trụ bằng thép có thể tích \(54\pi \,{m^3}\) và giá mỗi mét vuông thép là 500 ngàn đồng. Hỏi số tiền thấp nhất mà cửa hàng phải trả ? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:779667

Phương pháp giải

Gọi bán kính đáy là \(x\,(\;m)\,(x > 0)\), chiều cao bồn chứa là \(h\,(\;m)\).

Thể tích chứa của bồn là \(V = \pi {x^2} \cdot h = 54\pi \Rightarrow h = \dfrac{{54}}{{{x^2}}}\)(\(m\)).

Để chi phí xây dựng thấp nhất thì diện tích toàn phần của bồn phải nhỏ nhất.

Áp dụng bất đẳng thức \(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\)

Giải chi tiết

Ta chứng minh với \(a,b,c\) là các số thực không âm, thì \(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\) \({\rm{(1)}}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\).

Thật vậy

* Với \(a = 0,b = 0,c = 0\) thì bất đẳng thức luôn đúng.

* Với 3 số \(a,b,c\) dương.

Đặt: \(x = \sqrt[3]{a},y = \sqrt[3]{b},z = \sqrt[3]{c}\) suy ra \(x,y,z > 0\) ⇒ \(x + y + z > 0\)

Bất đẳng thức \({\rm{(1)}}\) trở thành \({x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3xyz\)

Xét \({x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz = \)\({(x + y)^3} - 3xy(x + y) + {z^3} - 3xyz\)

\( = (x + y + z)\left[ {\left( {{{(x + y)}^2} - (x + y)z + {z^2}} \right] - 3xy(x + y + z)} \right.\)

\( = (x + y + z)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx} \right)\)

\( = \dfrac{1}{2}(x + y + z)\left[ {{{(x - y)}^2} + {{(y - z)}^2} + {{(x - z)}^2}} \right] \ge 0,(\forall x,y,z > 0)\)

Vậy \({x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3xyz\) hay \(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi \(x = y = z\) hay \(a = b = c\).

* Gọi bán kính đáy là \(x\,(\;m)\,(x > 0)\), chiều cao bồn chứa là \(h\,(\;m)\).

Thể tích chứa của bồn là \(V = \pi {x^2} \cdot h = 54\pi \Rightarrow h = \dfrac{{54}}{{{x^2}}}\)(\(m\)).

Diện tích toàn phần của bồn chứa là: \({S_{TP}} = 2\pi {x^2} + 2\pi x \cdot h = 2\pi {x^2} + \dfrac{{108\pi }}{x}\left( {\;{m^2}} \right)\)

Để chi phí xây dựng thấp nhất thì diện tích toàn phần của bồn phải nhỏ nhất.

Ta có \({S_{TP}} = 2\pi {x^2} + \dfrac{{108\pi }}{x}\)

Áp dụng bất đẳng thức trên ta được

\(2\pi {x^2} + \dfrac{{108\pi }}{x} = 2\pi {x^2} + \dfrac{{54\pi }}{x} + \dfrac{{54\pi }}{x} \ge 3\sqrt[3]{{2\pi {x^2}.\dfrac{{54\pi }}{x}.\dfrac{{54\pi }}{x}}} = 54\pi \)

\({S_{TP}}\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(54\pi \left( {{m^2}} \right)\) khi \(2\pi {x^2} = \dfrac{{54\pi }}{x} \Rightarrow {x^3} = 27 \Rightarrow x = 3\) (m)

Khi đó số tiền xây bồn thấp nhất mà cửa hàng phải trả là : \(54\pi .500000 \approx \) 84 823 002 (đồng)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link