a) Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình $x^{2} - 4mx - 3 = 0$

Câu hỏi số 780358:

Vận dụng

a) Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình $x^{2} - 4mx - 3 = 0$ có hai nghiệm nguyên phân biệt.
b) Cho $a,b$ là các số nguyên dương thỏa mãn $a^{3} = 2b^{4} + a^{2}b$. Chứng minh $a$ chia hết cho $b$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:780358

Phương pháp giải

a) Tính PT luôn có hai nghiệm (thực) phân biệt $x_{1} = 2m - \sqrt{4m^{2} + 3}$ và $x_{2} = 2m + \sqrt{4m^{2} + 3}$.

b) Trước hết, ta sẽ chứng minh $a$ và $b$ cùng tính chẵn lẻ. Thật vậy, nếu $a$ là số lẻ thì dễ dàng chứng minh được $b$ cũng là số lẻ. Nếu $a$ là số chẵn thì từ $2b^{4} = a^{2}\left( {a - b} \right):4$ ta thu được $b$ là số chẵn.

Giải chi tiết

a) Phương trình $x^{2} - 4mx - 3 = 0$ là phương trình bậc hai theo $x$ có biệt thức

$= {( - 2m)}^{2} + 3 = 4m^{2} + 3 \geq 3 > 0.$

PT luôn có hai nghiệm (thực) phân biệt $x_{1} = 2m - \sqrt{4m^{2} + 3}$ và $x_{2} = 2m + \sqrt{4m^{2} + 3}$.

Do $x_{1} + x_{2} = 4m$ nên để $x_{1},x_{2} \in {\mathbb{Z}}$ thì $m = \dfrac{a}{4}$ với $a \in {\mathbb{Z}}$.

Khi đó $x_{1} = \dfrac{a + \sqrt{a^{2} + 12}}{2},\ x_{2} = \dfrac{a - \sqrt{a^{2} + 12}}{2}.$

Vì $a \in {\mathbb{Z}}$ nên điều kiện cần để $x_{1},x_{2} \in {\mathbb{Z}}$ là $12 + a^{2}$ là số chính phương (vì căn bậc hai của một số tự nhiên là số tự nhiên hoặc số vô tỉ).

Suy ra, tồn tại số nguyên dương $b$ sao cho $\left. 12 + a^{2} = b^{2}\Leftrightarrow\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) = - 12. \right.$

Do $a - b < a + b$ và $\left( {a - b} \right) + \left( {a + b} \right) = 2a$ là số chẵn nên suy ra

$\left\{ \begin{array}{l} {a - b = - 6} \\ {a + b = 2} \end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l} {a - b = - 2} \\ {a + b = 6.} \end{array} \right.$

Suy ra, $a = - 2,b = 4$ hoặc $a = 2,b = 4$.

Như thế, $4m \in \left\{ {- 2,2} \right\}$ nên $m \in \left\{ {- \dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}} \right\}$.

Thử lại, với $m = - \dfrac{1}{2}$ thì PT có 2 nghiệm nguyên là 1 và -3 với $m = \dfrac{1}{2}$ thì PT có 2 nghiệm nguyên là -1 và 3 .
b) Trước hết, ta sẽ chứng minh $a$ và $b$ cùng tính chẵn lẻ. Thật vậy, nếu $a$ là số lẻ thì dễ dàng chứng minh được $b$ cũng là số lẻ. Nếu $a$ là số chẵn thì từ $2b^{4} = a^{2}\left( {a - b} \right):4$ ta thu được $b$ là số chẵn.

Ta có $a^{3} = 2b^{4} + a^{2}b = b\left( {2b^{3} + a^{2}} \right)$ nên $a^{3}$ chia hết cho $b$.

Ngoài ra, do $\dfrac{a - b}{2} = \left( \dfrac{b^{2}}{a} \right)^{2}$ và $a,b$ cùng tính chẵn lẻ nên $b^{2}:a$.

Vì vậy $a$ và $b$ có cùng tập ước nguyên tố, giả sử đó là $\left\{ {p_{1},p_{2},\ldots,p_{n}} \right\}$.

Đặt $a = p_{1}^{\alpha_{1}}p_{2}^{\alpha_{2}}\cdots p_{n}^{\alpha_{n}},b = p_{1}^{\beta_{1}}p_{2}^{\beta_{2}}\cdots p_{n}^{\beta_{n}}$

trong đó $\alpha_{i},\beta_{i}$ là các số nguyên dương.

Nếu tồn tại $i \in \left\{ {1,2,\ldots,n} \right\}$ sao cho $\alpha_{i} < \beta_{i}$, chia hai vế của đẳng thức (1) cho $p_{i}^{3\alpha_{i}}$,

Ta nhận thấy vế trái của (2) không chia hết cho $p_{i}$, trong khi đó vế phải của (2) chia hết cho $p_{i}$ (do $\beta_{i} > \alpha_{i}$ ). Từ đó, ta có điều mâu thuẫn. Vì vậy $\alpha_{i} \geq \beta_{i}$, với mọi $i = \overline{1,n}$.

Vậy $a$ chia hết cho $b$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link