a) Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $p,q$ sao cho $p^{2} + q^{2} + 4pq + 52$ là số chính phương.b)
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $p,q$ sao cho $p^{2} + q^{2} + 4pq + 52$ là số chính phương.
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $\left( {x,y} \right)$ sao cho $5^{x} - 1 = 4y^{4}$.
Quảng cáo
a) Giả sử trong hai số $p,q$ không có số nào bằng 2 , khi đó do $p,q$ là các số nguyên tố nên $p,q$ lẻ, do đó $p^{2} \equiv 1\left( {\text{mod}4} \right),q^{2} \equiv 1\left( {\text{mod}4} \right)$, cho nên $p^{2} + q^{2} + 4pq + 52 \equiv 2\left( {\text{mod}4} \right)$ không thể là số chính phương, vì số chính phương chia 4 chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1 . Do đó phải có một số bằng 2 , giả sử đó là $p$.
b) Từ phương trình ban đầu $\left. \Leftrightarrow 5^{x} = \left( {2y^{2} - 2y + 1} \right)\left( {2y^{2} + 2y + 1} \right). \right.$
a) Giả sử trong hai số $p,q$ không có số nào bằng 2 , khi đó do $p,q$ là các số nguyên tố nên $p,q$ lẻ, do đó $p^{2} \equiv 1\left( {\text{mod}4} \right),q^{2} \equiv 1\left( {\text{mod}4} \right)$, cho nên $p^{2} + q^{2} + 4pq + 52 \equiv 2\left( {\text{mod}4} \right)$ không thể là số chính phương, vì số chính phương chia 4 chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1 . Do đó phải có một số bằng 2 , giả sử đó là $p$.
Khi đó $q^{2} + 8q + 56$ là số chính phương, đặt $q^{2} + 8q + 56 = t^{2}\left( {t \in {\mathbb{N}}} \right)$.
Suy ra $\left( {t - q - 4} \right)(t +$ $q + 4) = 40$.
Vì vậy, $t - q - 4$ và $t + q + 4$ đều là ước của 40, hơn nữa $t - q - 4 < t + q + 4$ và $t - q - 4,t + q + 4$ cùng tính chẵn lẻ. Xét bảng sau
Vậy $\left( {p,q} \right) \in \left\{ {\left( {2;5} \right),\left( {5;2} \right)} \right\}\text{.~}$
b) Ta có
$5^{x} - 1 = 4y^{4}$
$\left. \Leftrightarrow 5^{x} = 4y^{4} + 1 \right.$
$\left. \Leftrightarrow 5^{x} = \left( {2y^{2} + 1} \right)^{2} - {(2y)}^{2} \right.$
$\left. \Leftrightarrow 5^{x} = \left( {2y^{2} - 2y + 1} \right)\left( {2y^{2} + 2y + 1} \right). \right.$
Do đó $\left\{ {\begin{array}{l} {2y^{2} - 2y + 1 = 5^{a}} \\ {2y^{2} + 2y + 1 = 5^{b}} \end{array}\ (a,b \in {\mathbb{N}},a < b,a + b = x)} \right.$
Suy ra $\left( {2y^{2} - 2y + 1} \right) \mid \left( {2y^{2} + 2y + 1} \right)$ (1)
Hay $2y^{2} - 2y + 1 \mid 4y$. Thử với $y = 1,2,3$ được cặp $\left( {x,y} \right) = \left( {1,1} \right)$ thỏa mãn.
Với $y > 3$ thì $4y - \left( {2y^{2} - 2y + 1} \right) = - 2y\left( {y - 4} \right) - 1 < 0$, mà $2y^{2} - 2y + 1,4y$ đều dương nên $\left( {2y^{2} - 2y + 1} \right) \nmid 4y$, mâu thuẫn (1).
Vậy $\left( {x,y} \right) = \left( {1,1} \right)$.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
