Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a + b + c = 4$.a) Chứng minh rằng $4ab + ac + bc \geq 4abc$.b)

Câu hỏi số 780360:

Vận dụng

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a + b + c = 4$.
a) Chứng minh rằng $4ab + ac + bc \geq 4abc$.
b) Chứng minh $\dfrac{2a}{4a + bc} + \dfrac{2b}{4b + ac} + \dfrac{3c}{4c + ab} \leq \dfrac{4}{3}$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:780360

Phương pháp giải

a) $4ab + ac + bc \geq 4abc$$\left. \Leftrightarrow\dfrac{4}{c} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{a} \geq 4 \right.$

b) BĐT ban đầu$\left. ~\Leftrightarrow 4abc \leq 4ab + ac + bc. \right.$

Giải chi tiết

a) Ta có

$4ab + ac + bc \geq 4abc$

$\left. \Leftrightarrow\dfrac{4}{c} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{a} \geq 4 \right.$

Mà $VT \geq \dfrac{{(2 + 1 + 1)}^{2}}{a + b + c} = 4 = VP$ (dpcm).
b) Cần chứng minh:

$\dfrac{2a}{4a + bc} + \dfrac{2b}{4b + ac} + \dfrac{3c}{4c + ab} \leq \dfrac{4}{3}$

$\left. ~\Leftrightarrow\dfrac{2a}{\left( {a + b + c} \right)a + bc} + \dfrac{2b}{\left( {a + b + c} \right)b + ac} + \dfrac{3c}{\left( {a + b + c} \right)c + ab} \leq \dfrac{4}{3} \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow\dfrac{2a\left( {b + c} \right) + 2b\left( {a + c} \right) + 2c\left( {a + b} \right)}{\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)\left( {a + b} \right)} \leq \dfrac{4}{3} \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow\dfrac{5ac + 5bc + 4ab}{\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)\left( {a + b} \right)} \leq \dfrac{4}{3} \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow 15ac + 15bc + 12ab \leq 4\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)\left( {a + b} \right) \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow 0 \leq 4\left( {4 - a} \right)\left( {4 - b} \right)\left( {4 - c} \right) - \left( {15ac + 15bc + 12ab} \right) \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow 0 \leq - 4abc + 4ab + ac + bc - 64\left( {a + b + c} \right) + 256 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow 4abc \leq 4ab + ac + bc. \right.$

Bất đẳng thức cuối cùng đã được chứng minh ở câu (a).

Dấu bằng xảy ra khi $\left( {a,b,c} \right) = \left( {1,1,2} \right)$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link