Với $x;y;z$ là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức $xy + yz + zx = 5$.Tìm giá trị nhỏ nhất

Câu hỏi số 780663:

Vận dụng

Với $x;y;z$ là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức $xy + yz + zx = 5$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = \dfrac{3x + 3y + 2z}{\sqrt{6\left( {x^{2} + 5} \right)} + \sqrt{6\left( {y^{2} + 5} \right)} + \sqrt{\left( {z^{2} + 5} \right)}}$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:780663

Phương pháp giải

Thay $xy + yz + zx = 5$ vào P rồi phân tích mẫu dưới dạng tích, sau đó áp dụng bất đẳng thức AM-GM với từng mẫu từ đó rút gọn P.

Giải chi tiết

Vì $xy + yz + zx = 5$ nên ta có:

$P = \dfrac{3x + 3y + 2z}{\sqrt{6\left( {x^{2} + 5} \right)} + \sqrt{6\left( {y^{2} + 5} \right)} + \sqrt{z^{2} + 5}}$

$= \dfrac{3x + 3y + 2z}{\sqrt{6\left( {x^{2} + xy + yz + zx} \right)} + \sqrt{6\left( {y^{2} + xy + yz + zx} \right)} + \sqrt{z^{2} + xy + yz + z}}$

$= \dfrac{3x + 3y + 2z}{\sqrt{6(x + y)(x + z)} + \sqrt{6(x + y)(y + z)} + \sqrt{(z + x)(y + z)}}$

Áp dụng bất đẳng AM-GM ta có

$\sqrt{6(x + y)(x + z)} = \sqrt{3(x + y) \cdot 2(x + z)} \leq \dfrac{1}{2}(5x + 3y + 2z).$

$\sqrt{6(x + y)(y + z)} = \sqrt{3(x + y) \cdot 2(y + z)} \leq \dfrac{1}{2}(3x + 5y + 2z).$

$\sqrt{(z + x)(y + z)} \leq \dfrac{1}{2}(x + y + 2z)$

$P \geq \dfrac{2(3x + 3y + 2z)}{9x + 9y + 6z} = \dfrac{2}{3}$

Đẳng thức xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l} {x = y} \\ {2x = z} \\ {xy + yz + zx = 5} \end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l} {x = y = 1} \\ {z = 2} \end{array} \right.$ (do $x,y,z$ là các số thực dương).

Vậy $\min P = \dfrac{2}{3}$ khi $x = y = 1,z = 2$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link