Cho đường tròn $(\text{O})$ bán kính R và dây cung BC cố định. Một điểm A di động trên cung

Câu hỏi số 780662:

Vận dụng

Cho đường tròn $(\text{O})$ bán kính R và dây cung BC cố định. Một điểm A di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC luôn nhọn. Các đường cao $\text{AD},\text{BE}$ của tam giác ABC cắt nhau tại H . BE cắt đường tròn $(\text{O})$ tại F ( F khác B ).

1) Chứng minh rằng tứ giác DHEC nội tiếp.

2) Kẻ đường kính AM của đường tròn $(\text{O})$ và OI vuông góc với BC tại I . Chứng minh tứ giác BHCM là hình bình hành.

3) Tính AF theo $R$, biết $BC = R\sqrt{3}$.

4) Khi BC cố định, xác định vị trí của A trên đường tròn $(\text{O})$để DH.DA lớn nhất.

Chứng minh rằng tứ giác DHEC nội tiếp.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:780662

Phương pháp giải

1) Chứng minh bốn điểm D, H, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính HC.

2) Chứng minh tứ giác BHCM có hai đường chéo song song.

3) Chứng minh $\Delta AHF$ cân tại $A$. Vì OI là đường trung bình của $\Delta AHM$ nên $AF = AH = R$.

4) Chứng minh $\left. \Delta DHB \right.\sim\Delta DCA$ (g.g) suy ra $DH \cdot DA = DB \cdot DC$

Áp dụng bất đẳng thức $ab \leq \dfrac{{(a + b)}^{2}}{4}$, suy ra$DH.DA \leq \dfrac{BC^{2}}{4}$ rồi tìm điểm A để dấu "=" xảy ra.

Giải chi tiết

1) Vì $AD\bot BC;BE\bot AC$ nên $\widehat{HDC} = 90{^\circ};\widehat{HEC} = 90{^\circ}$

Gọi K là trung điểm của HC , ta có $KH = KC = \dfrac{1}{2}HC$ (1)

Xét $\Delta DHC$ vuông tại D có DK là đường trung tuyến nên $DK = \dfrac{1}{2}HC$ (2).

Xét $\Delta EHC$ vuông tại E có EK là đường trung tuyến nên $EK = \dfrac{1}{2}HC$ (3).

Từ (1),(2),(3) suy ra $KH = KC = DK = EK$, suy ra bốn điềm $D,H,E,C$ cùng thuộc một đường tròn tâm K đường kính HC

Vậy tứ giác DHEC nội tiếp.

2) Xét $\Delta ABC$ có $BE,AD$ là hai đường cao cắt nhau tại H nên H là trực tâm $\Delta ABC$

Suy ra $CH\bot AB$

Xét $(O)$ có: $\widehat{ABM},\widehat{ACM}$ là hai góc nội tiếp cùng chắn nửa đường tròn đường kính AM.

Nên $\widehat{ABM} = \widehat{ACM} = 90{^\circ}$ hay $MB\bot AB;MC\bot AC$

mà $CH\bot AB$(cmt); $BH\bot AC$

Suy ra: $MB\text{//}CH,MC\text{//}BH$

Vậy $BHCM$ là hình bình hành.

3) Xét tam giác OBC có $OB = OC( = R)$ suy ra tam giác $OBC$ cân tại $O$ mà OI vuông góc với BC tại I, nên đường cao OI đồng thời là đường trung tuyến suy ra I là trung điểm của BC .

Mà tứ giác BHCM nên I là trung điểm của MH.

Vì I là trung điểm của $BC$nên $BI = CI = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{R\sqrt{3}}{2}$

Áp dụng định lí Py-ta-go vào $\Delta CIO$ vuông tại I ta có: $OC^{2} = OI^{2} + CI^{2}$

Hay $R^{2} = OI^{2} + \left( \dfrac{R\sqrt{3}}{2} \right)^{2}\ $suy ra $OI^{2} = \dfrac{R^{2}}{4}$ nên $OI = \dfrac{R}{2}$

Xét đường tròn $(\text{O})$ có $\widehat{ACB} = \widehat{AFB}$ (cùng chắn cung AB)

Lai có: Tứ giác DHEC nội tiếp đường tròn (cmt) có

$\widehat{DCE} + \widehat{DHE} = 180{^\circ}$ (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp)

Lại có $\widehat{EHA} + \widehat{DHE} = 180{^\circ}$ (hai góc kề bù) (2)

Từ (1), (2) suy ra $\widehat{DCE} = \widehat{EHA}$ hay $\widehat{ACB} = \widehat{AHF}$

Suy ra $\widehat{AFB} = \widehat{AHF}$nên $\Delta AHF$ cân tại $A$

Xét $\Delta AHM$có: O là trung điểm của $\text{AM}(\text{gt})$, I là trung điểm của $\text{HM}$(cmt)

Nên OI là đường trung bình của $\Delta AHM$ suy ra $AH = 2.OI = 2 \cdot \dfrac{R}{2} = R$

mà $\text{AF} = \text{AH}$ (vì $\Delta\text{AHF}$ cân tại A) nên $\text{AF} = \text{R}$

4) Xét tam giác DHB và tam giác DCA có

$\widehat{BDH} = \widehat{ADC} = 90{^\circ}$ (vì $AD\bot BC$)

$\widehat{HBD} = \widehat{DAC}$ (cùng phụ $\widehat{ACB}$)

Vậy $\left. \Delta DHB \right.\sim\Delta DCA$ (g.g)

Suy ra $\dfrac{DH}{DC} = \dfrac{DB}{DA}$ nên $DH \cdot DA = DB \cdot DC$

Áp dụng bất đẳng thức $ab \leq \dfrac{{(a + b)}^{2}}{4}$, nên ta có: $DB.DC \leq \dfrac{{(DB + DC)}^{2}}{4} = \dfrac{BC^{2}}{4}$

Suy ra $DH.DA \leq \dfrac{BC^{2}}{4}$ không đổi vì BC cố định.

Dấu "=" xảy ra khi $\text{DB} = \text{DC}$ mà AH vuông góc với BC tại D , suy ra A là giao điểm của đường trung trực của BC với đường tròn tâm O.

Vậy A là giao điểm của đường trung trực của BC với đường tròn tâm O thì DH.DA đạt giá trị lớn nhất.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link