Cho đường tròn tâm O đường kính $AB = 2R$. Gọi C là trung điểm của OA, qua C kẻ dây M N của (O)

Câu hỏi số 780671:

Vận dụng

Cho đường tròn tâm O đường kính $AB = 2R$. Gọi C là trung điểm của OA, qua C kẻ dây M N của (O) vuông góc với OA tại C. Gọi K là điểm tùy ỳ trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MN. Tia BK cắt đường thẳng MN tại điểm P.

a) Chứng minh bốn điểm B,C,H,K cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh $\widehat{MHK} = \widehat{ANK};$ $\Delta AMH$đồng dạng với $\Delta AKM$.

c) Chứng minh $HM.PN = HN.PM$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:780671

Phương pháp giải

a) Chứng minh bốn điểm B,C,H,K cùng thuộc đường tròn đường kính HB.

b) Sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp và tính chất hai góc kề bù để có$\widehat{MHK} = \widehat{ANK};$

Chứng minh $\widehat{AMN} = \widehat{AKM}$do chắn 2 cung bằng nhau, từ đó suy ra $\Delta AMH \sim \Delta AKM(\text{g}.\text{g})$

c) Sử dụng tính chất đường phân giác trong $\Delta\text{MKN}$ để có $\dfrac{PM}{PN} = \dfrac{KM}{KN}$, từ đó suy ra đpcm.

Giải chi tiết

a) Xét (O) có $\widehat{AKB}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat{AKB} = 90{^\circ}$

Gọi Q là trung điểm của HB.

Xét $\Delta HKB$ vuông tại $K$có $Q$ là trung điểm của HB nên $QH = QK = QB = \dfrac{HB}{2}(1)$

Xét $\Delta\text{HCB}$ vuông tại C , có Q là trung điểm của HB nên $QH = QC = QB = \dfrac{HB}{2}(2)$

Từ (1) và (2) ta có: $QH = QC = QB = QK = \dfrac{HB}{2}$

Vậy B,C,H,K cùng thuộc 1 đường tròn $\left( {Q;\dfrac{HB}{2}} \right)$

b) +) Vì tứ giác BCHK nội tiếp nên $\widehat{ABK} + \widehat{CHK} = 180{^\circ}$ (tính chất)

mà $\widehat{MHK} + \widehat{CHK} = 180{^\circ}$ (hai góc kề bù)

Suy ra$\widehat{ABK} = \widehat{MHK}$

Xét $(\text{O})$có $\widehat{ABK} = \widehat{ANK}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AK)

Suy ra$\widehat{MHK} = \widehat{ANK}$ (đpcm)

+) Xét $(\text{O})$ ta có: $\widehat{AMN} = \dfrac{1}{2}$sđ$cung\, AN$; $\widehat{AKM} = \dfrac{1}{2}$sđ$cung\, AM$

Suy ra $\widehat{AMN} = \widehat{AKM}$(do $cung\, AN = cung\, AM$)

Xét $\Delta AMH$ và $\Delta AKM$ có:

$\widehat{MAK}$ chung

$\widehat{AMN} = \widehat{AKM}$ (cmt)

Suy ra $\Delta AMH \sim \Delta AKM(\text{g}.\text{g})$

c) KH là phân giác trong của $\Delta\text{MKN}$ suy ra $\dfrac{HM}{HN} = \dfrac{KM}{KN}$

KP là phân giác ngoài $\Delta\text{MKN}$suy ra $\dfrac{PM}{PN} = \dfrac{KM}{KN}$

Suy ra $\dfrac{HM}{HN} = \dfrac{PM}{PN}$

Vậy $HM.PN = HN.PM$(đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link