Cho nửa đường tròn $\left( {O;R} \right)$ đường kính $AB$. Gọi $M$ là một điểm thuộc nửa

Câu hỏi số 781180:

Vận dụng

Cho nửa đường tròn $\left( {O;R} \right)$ đường kính $AB$. Gọi $M$ là một điểm thuộc nửa đường tròn đã cho ($M$ khác $A$ và $B$), $H$ là hình chiếu của $M$ trên $AB$. Đường thẳng qua $O$ và song song với $MA$ cắt tiếp tuyến tại $B$ của nửa đường tròn $(O)$ tại điểm $K$.
a) Chứng minh tứ giác $OBKM$ nội tiếp.
b) Gọi $C,D$ lần lượt là hình chiếu của $H$ trên các đường thẳng $MA$ và $MB$. Gọi $I$ là giao điểm của $AK$ và $MH$. Chứng minh $I$ là trung điểm $CD$.
c) Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $AH$ và $BH$. Xác định vị trí của điểm $M$ để diện tích tứ giác $CDFE$ đạt giá trị lớn nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:781180

Phương pháp giải

a) Chứng minh $\widehat{KMO} = \widehat{KBO} = 90^{0}$

Suy ra tứ giác $OBKM$ nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng $180^{0}$)
b) Gọi $N$ là giao điểm của $BK$ và $AM$.

Vì $AN \parallel OK$, mà $O$ là trung điểm $AB$ nên $K$ là trung điểm $NB$.
Áp dụng định lý Thales.

c) Chứng minh $\Delta IEC = \Delta IEH\left( {\text{c} - \text{c} - \text{c}} \right)$

$\left. ~\Rightarrow\widehat{ICE} = \widehat{IHE} = 90^{0} \right.$ (hai góc tương ứng)

Tương tự, ta chứng minh được $\widehat{IDF} = 90^{0}$
$\left. \Rightarrow CDFE \right.$ là hình thang vuông.
Tính diện tích của hình thang vuông $CDFE$.

Giải chi tiết

a) Ta có $OM = OB$, mà $OK\bot MB$ nên $OK$ là đường trung trực của đoạn $MB$. Khi đó: $KB = KM$, mà $KB$ là tiếp tuyến của $(O)$ và $\Delta OMK = \Delta OBK$ (c-c-c).

$\left. \Rightarrow\widehat{KMO} = \widehat{KBO} = 90^{0} \right.$

$\Rightarrow$ Tứ giác $OBKM$ nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng $180^{0}$)
b) Gọi $N$ là giao điểm của $BK$ và $AM$.

Vì $AN \parallel OK$, mà $O$ là trung điểm $AB$ nên $K$ là trung điểm $NB$.
Áp dụng định lý Thales, ta có: $\left. \dfrac{IM}{IH} = \dfrac{KN}{KB} = 1\Rightarrow IM = IH \right.$ hay $I$ là trung điểm của $MH$.

Vì $MCHD$ là hình chữ nhật nên $I$ cũng là trung điểm $CD$.

c) Vì $MCHD$ là hình chữ nhật nên $IC = IH$.

Xét tam giác $ACH$ vuông tại $C$ có $E$ là trung điểm $AH$, ta có: $CE = \dfrac{1}{2}AH = EH$.
Xét hai tam giác $IEC$ và $IEH$, ta có:

Cạnh $IE$ chung

$IC = IH$

$EC = EH$

$\left. \Rightarrow\Delta IEC = \Delta IEH\left( {\text{c} - \text{c} - \text{c}} \right) \right.$

$\left. ~\Rightarrow\widehat{ICE} = \widehat{IHE} = 90^{0} \right.$ (hai góc tương ứng)

Tương tự, ta chứng minh được $\widehat{IDF} = 90^{0}$
$\left. \Rightarrow CDFE \right.$ là hình thang vuông.
Diện tích của hình thang vuông $CDFE$ là

$S = \dfrac{1}{2} \cdot \left( {CE + DF} \right) \cdot CD = \dfrac{1}{2} \cdot \left( {\dfrac{1}{2}AH + \dfrac{1}{2}BH} \right) \cdot MH = \dfrac{1}{4} \cdot AB \cdot MH$

Mặt khác: $MH \leq MO = R$ suy ra $S \leq \dfrac{1}{4} \cdot AB \cdot MO = \dfrac{R^{2}}{2}$.
Vậy giá trị lớn nhất của $S$ là $\dfrac{R^{2}}{2}$ khi $H \equiv O$ hay $MO\bot AB$ nên $M$ là điểm chính giữa của nửa đường tròn $(O)$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link