Cho hai phương trình: $2x^{2} + x - m^{2} + 2m - 15 = 0\ (1)$ và $2x^{2} + 3x - m^{2} + 2m - 14 = 0$Tìm tất cả

Câu hỏi số 781179:

Vận dụng

Cho hai phương trình: $2x^{2} + x - m^{2} + 2m - 15 = 0\ (1)$ và $2x^{2} + 3x - m^{2} + 2m - 14 = 0$
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ sao cho phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$ và phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt $x_{3},x_{4}$ thỏa mãn: $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2} = 3x_{2}x_{3}$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:781179

Phương pháp giải

Áp dụng định lý Vi-et.

Giải chi tiết

Ta thấy cả hai phương trình (1) và (2) có cùng biệt thức $\text{Δ} = 8{(m - 1)}^{2} + 113 > 0$ $\left. \Rightarrow\sqrt{\text{Δ}} > 10 \right.$ và $x_{1},x_{2}$ trái dấu; $x_{3},x_{4}$ trái dấu.
Do $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2} > 0$ nên $x_{2}x_{3} > 0$ suy ra $x_{2}$ và $x_{3}$ mang cùng một dấu.

$\left. \Rightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x_{2}x_{3} = \dfrac{- 1 - \sqrt{\text{Δ}}}{4} \cdot \dfrac{- 3 - \sqrt{\text{Δ}}}{4} = \dfrac{\text{Δ} + 4\sqrt{\text{Δ}} + 3}{16}} \\ {x_{2}x_{3} = \dfrac{- 1 + \sqrt{\text{Δ}}}{4} \cdot \dfrac{- 3 + \sqrt{\text{Δ}}}{4} = \dfrac{\text{Δ} - 4\sqrt{\text{Δ}} + 3}{16}} \end{array} \right. \right.$

Áp dụng định lý Vi-et ta có:

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2}$

$= \left( {x_{1} + x_{2}} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2} + \left( {x_{3} + x_{4}} \right)^{2} - 2x_{3}x_{4}$

$~ = 2{(m - 1)}^{2} + \dfrac{59}{2} = \dfrac{1}{4} \cdot \left( {8{(m - 1)}^{2} + 113} \right) + \dfrac{5}{4} = \dfrac{\text{Δ} + 5}{4}.$

$\left. ~\Rightarrow\left\lbrack \begin{matrix} {\dfrac{\text{Δ} + 5}{4} = 3 \cdot \dfrac{\text{Δ} + 4\text{Δ} + 3}{16}\,\,\,\,(3)} \\ {\dfrac{\text{Δ} + 5}{4} = 3 \cdot \dfrac{\text{Δ} - 4\text{Δ} + 3}{16}\,\,\,(4)} \end{matrix} \right. \right.$

Giải (3) ta được $\left. \Delta - 12\sqrt{\Delta} + 11 = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {\sqrt{\Delta} = 1~(l)~} \\ {\sqrt{\Delta} = 11} \end{array}\Leftrightarrow\sqrt{\Delta} = 11 \right. \right.$.

$\left. \Leftrightarrow 8{(m - 1)}^{2} + 113 = 121\Leftrightarrow{(m - 1)}^{2} = 1\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {m = 2} \\ {m = 0} \end{array} \right. \right.$

Giải (4) ta được $\left. \Delta + 12\sqrt{\Delta} + 11 = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {\sqrt{\Delta} = - 1~(l)~} \\ {\sqrt{\Delta} = - 11~(l)~} \end{array} \right. \right.$
Vậy $m \in \left\{ {0;2} \right\}$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link