Cho ba điểm $A,\,\, B,\,\, C$ cố định và thẳng hàng theo thứ tự đó. Trên đường thẳng $d$
Cho ba điểm $A,\,\, B,\,\, C$ cố định và thẳng hàng theo thứ tự đó. Trên đường thẳng $d$ vuông góc với $AB$ tại $B$ lấy điểm $D$ bất kì. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $DAC$. Tìm quỹ tích điểm $O$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADH$
Quảng cáo
Gọi giao điểm thứ hai của $(O)$ và $AC$ là $E$
Gọi $A' = AH \cap CD$. Khi đó $\angle DA'H = 90{^\circ}$
Chứng minh $\angle A'DH = \angle HAB$
Chứng minh $BH.BD = BA.BC$ và $BH.BD = BA.BE$
Suy ra $BC = BE$
Kết hợp giả thiết ta được $E$ cố định
Gọi giao điểm thứ hai của $(O)$ và $AC$ là $E$
Gọi $A' = AH \cap CD$. Khi đó $\angle DA'H = 90{^\circ}$
Ta có: $\left. \left\{ \begin{array}{l} {\angle A'DH + \angle A'HD = 90{^\circ}} \\ {\angle HAB + \angle AHB = 90{^\circ}} \\ {\angle A'HD = \angle AHB} \end{array} \right.\Rightarrow\angle A'DH = \angle HAB \right.$
Xét $\Delta BAH$ và $\Delta BDC$ có
$\begin{array}{l} {\angle ABH = \angle DBC = 90{^\circ}} \\ {\angle BAH = \angle BDC} \\ \left. \Rightarrow\Delta BAH \backsim \Delta BDC \right. \\ \left. \Rightarrow\dfrac{BA}{BD} = \dfrac{BH}{BC} \right. \\ \left. \Rightarrow BH.BD = BA.BC\,\,(1) \right. \end{array}$
Xét $\Delta BAD$ và $\Delta BHE$ có
$\begin{array}{l} {\angle BAD = \angle BHE} \\ {\angle ABD\,\, chung} \\ \left. \Rightarrow\Delta BAD \backsim \Delta BHE \right. \\ \left. \Rightarrow\dfrac{BA}{BH} = \dfrac{BD}{BE} \right. \\ \left. \Rightarrow BH.BD = BA.BE\,\,(2) \right. \end{array}$
Từ (1) và (2) suy ra $BE = BC$ không đỏi
Mà $E$ thuộc đường thẳng cố định, $B$ cố định nên $E$ cố định
Ta có $OA = OE$ nên $O$ thuộc đường thẳng cố định là đường trung trực của đoạn thẳng $AE$
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
