Cho đường tròn $(O;R)$ đường kính AC và đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$
Cho đường tròn $(O;R)$ đường kính AC và đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại A. Trên đường thẳng d lấy điểm $M$ khác A sao cho $AM > AO$. Từ điểm M vẽ tiếp tuyến MB với đường tròn (O) (B là tiếp điểm, B khác A).
a) Chứng minh 4 điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn và $OM\bot AB$.
b) Gọi $D$ là giao điểm của đoạn MO với đường tròn (O). Tia AD cắt đoạn thẳng MB tại E. Chứng minh rằng $EB^{2} = EA \cdot ED$.
c) Đường phân giác trong góc$B$ của tam giác $ABC$ cắt đường tròn $(O;R)$ tại K (K khác B). Kẻ $BI\bot AC$
($I \in AC$). Đặt $BI = x$, tính diện tích tam giác $BIK$ theo R và $x$.
Quảng cáo
a) Do MA, MB là tiếp tuyến nên $\widehat{OAM} = \widehat{OBM} = 90{^\circ}$.
Từ đó chứng minh 4 điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn đường kính MO.
Chứng minh OM là đường trung trực của AB suy ra $OM\bot AB$.
b) Vẽ $OS\bot DB$ tại $S$.
Chứng minh $\Delta EBD \backsim \Delta EAB$ (g.g) khi đó $\dfrac{EB}{EA} = \dfrac{ED}{EB}$ hay $EB^{2} = EA \cdot ED$.
c) Chứng minh $KO\,\text{//}\, BI$
Do đó $S_{\Delta OBI} = S_{\Delta BIK}$ (hai tam giác có chung đáy BI và đường cao bằng nhau)
Từ đó tính $S_{\Delta OBI}$ và suy ra $S_{\Delta BIK}$.
a) Do MA, MB là tiếp tuyến nên $\widehat{OAM} = \widehat{OBM} = 90{^\circ}$.
Ta có $\Delta OAM$ vuông tại A nên A,M,O thuộc đường tròn đường kính MO
Ta lại có $\Delta OBM$ vuông tại B nên B,M,O thuộc đường tròn đường kính MO
Vậy 4 điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn đường kính MO.
Ta có:
$OA = OB$ (bán kính)
$MA = MB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra OM là đường trung trực của AB
Vậy $OM\bot AB$.
b) Vẽ $OS\bot DB$ tại $S$.
Ta có $\widehat{DBE} = \widehat{SOB}$ (cùng phụ $\widehat{OBS}$) (1)
Ta lại có $\Delta ODB$ cân tại O ($OB = OD$) có OS là đường cao nên OS cũng là đường phân giác.
Suy ra $\widehat{SOB} = \dfrac{1}{2}\widehat{DOB} = \dfrac{1}{2}sd\overset{\frown}{DB}$ (2)
Mặt khác, $\widehat{DAB} = \dfrac{1}{2}sd\overset{\frown}{DB}$ (góc nội tiếp chắn $\overset{\frown}{DB}$) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra $\widehat{DBE} = \widehat{DAB}$.
Xét $\Delta EBD$ và $\Delta EAB$ có:
$\widehat{BEA}$ chung
$\widehat{EBD} = \widehat{EAB}$ (cmt)
Suy ra $\Delta EBD \backsim \Delta EAB$ (g.g).
Khi đó $\dfrac{EB}{EA} = \dfrac{ED}{EB}$ hay $EB^{2} = EA \cdot ED$.
c) Ta có $\widehat{ABC} = 90{^\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Do BK là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ nên
$\widehat{ABK} = \widehat{CBK} = \dfrac{1}{2}\widehat{ABC} = 45{^\circ}$.
Suy ra $sd\overset{\frown}{AK} = sd\overset{\frown}{CK} = 90{^\circ}$$$
Khi đó, $\widehat{AOK} = \widehat{COK} = 90{^\circ}$ (hai góc ở tâm chắn hai cung bằng nhau)
Suy ra $OK\bot AC$.
Mà $BI\bot AC$ (gt)
Suy ra $KO\,\text{//}\, BI$
Do đó $S_{\Delta OBI} = S_{\Delta BIK}$ (hai tam giác có chung đáy BI và đường cao bằng nhau)
$\Delta OBI$ vuông tại I có
$IB^{2} + IO^{2} = OB^{2}$
$x^{2} + IO^{2} = R^{2}$
$IO = \sqrt{R^{2} - x^{2}}$
$S_{\Delta OBI} = \dfrac{1}{2}IB \cdot IO = \dfrac{1}{2}x\sqrt{R^{2} - x^{2}}$.
Vậy $S_{\Delta BIK} = \dfrac{1}{2}x\sqrt{R^{2} - x^{2}}$.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
