Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$, điểm $A$ nằm ngoài đường tròn sao cho $\angle BAC <
Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$, điểm $A$ nằm ngoài đường tròn sao cho $\angle BAC < 90{^\circ}$. Gọi $M,\, N$ là giao điểm của $AB$ và $AC$ với đường tròn $(O)$ ($M$ khác $B$, $N$ khác $C$). Hai đường thẳng $BN$ và $CM$ cắt nhau tại $I$.
a) Chứng minh $AI\bot BC$ và tứ giác $MANI$ là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi $D$ là điểm trên cung nhỏ $MN$ sao cho $cung\, MD = cung\, ND$, $P$ là giao điểm của $BD$ và $CM$, $Q$ là giao điểm của $CD$ và $BN$. Chứng minh rằng $DQ.CD = BD.DP$ và $\angle IPD = \angle IQD$.
c) Giả sử $\angle BAC = 60{^\circ}$ và $BC = 10$cm. Tính độ dài $MN$ và chu vi đường tròn ngoại tiếp $\Delta MIN$. (lấy $\pi \approx 3,14$)
Quảng cáo
a) Chứng minh $AI\bot BC$
Chứng minh $BN$ và $CM$ là hai đường cao của tam giác $ABC$ và cắt nhau tại $I$ nên $I$ là trực tâm của tam giác $ABC$.
Suy ra $AI\bot BC$.
Chứng minh tứ giác $MANI$ là tứ giác nội tiếp
Chứng minh $\Delta AMI$ và $\Delta ANI$ nội tiếp đường tròn đường kính $AI$.
Do đó bốn điểm $A,N,I,M$ thuộc đường tròn đường kính $AI$ hay tứ giác $MANI$ là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh $DQ.CD = BD.DP$
Chứng minh $\Delta DQB \backsim \Delta DPC$ (g-g) suy ra $DQ.DC = DP.DP$ (đpcm).
Chứng minh $\angle IPD = \angle IQD$
Từ $\Delta DQB \backsim \Delta DPC$ suy ra $\angle IPD = \angle IQD$.
c) Tính $MN$
Chứng minh $\Delta BAN \backsim \Delta CAM$ (g-g), suy ra $\dfrac{AN}{AB} = \dfrac{AM}{AC}$
Chứng minh $\Delta AMN \backsim \Delta ACB$(c-g-c), suy ra $\dfrac{MN}{CB} = \dfrac{AN}{AB} = \cos A$.
Do đó $MN = CB.\cos A$.
Tính chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác $MIN$
Chứng minh $\angle NAI = \angle NBC$.
Chứng minh $\Delta ANI \backsim \Delta BNC$ (g-g), suy ra $\dfrac{AI}{BC} = \dfrac{NI}{NC} = \cos\angle NIC$.
Chứng minh $\angle NIC = \angle MAN = 60{^\circ}$ suy ra $AI = \cos 60{^\circ}.BC$.
Đường tròn ngoại tiếp tam giác $MIN$ có đường kính là $AI$ nên ta có chu vi của đường tròn đó là: $C = \pi.AI$.
a) Chứng minh $AI\bot BC$
Do $\angle BMC$ và $\angle BNC$ là hai góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\angle BMC = \angle BNC = 90{^\circ}$.
Suy ra $BN$ và $CM$ là hai đường cao của tam giác $ABC$.
Mà $BN$ và $CM$ cắt nhau tại $I$ nên $I$ là trực tâm của tam giác $ABC$.
Do đó $AI\bot BC$.
Chứng minh tứ giác $MANI$ là tứ giác nội tiếp
Vì $\angle AMI = 90{^\circ}$ nên $\Delta AMI$ nội tiếp đường tròn đường kính $AI$.
Vì $\angle ANI = 90{^\circ}$ nên $\Delta ANI$ nội tiếp đường tròn đường kính $AI$.
Do đó bốn điểm $A,N,I,M$ thuộc đường tròn đường kính $AI$ hay tứ giác $MANI$ là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh $DQ.CD = BD.DP$
Xét $\Delta DQB$ và $\Delta DPC$, ta có:
$\angle BDQ$ chung
$\angle DBQ = \angle DCQ$ (là hai góc nội tiếp chắn cung $DN$, $DM$ và $sd\, cung\, DN = sd\, cung\, DM$)
Suy ra $\Delta DQB \backsim \Delta DPC$ (g-g)
Do đó $\dfrac{DQ}{DP} = \dfrac{DB}{DC}$ hay $DQ.DC = DP.DP$ (đpcm).
Chứng minh $\angle IPD = \angle IQD$
Vì $\Delta DQB \backsim \Delta DPC$ nên $\angle IQD = \angle CPD$ hay $\angle IPD = \angle IQD$.
c) Tính $MN$
Xét $\Delta BAN$ và $\Delta CAM$, ta có:
$\angle BAN$ chung
$\angle BNA = \angle CMA = 90^{0}$
Suy ra $\Delta BAN \backsim \Delta CAM$ (g-g), suy ra $\dfrac{AN}{AB} = \dfrac{AM}{AC}$
Xét $\Delta AMN$ và $\Delta ACB$, ta có
$\angle BAC$ chung
$\dfrac{AN}{AB} = \dfrac{AM}{AC}$ (cmt)
Suy ra $\Delta AMN \backsim \Delta ACB$(c-g-c), suy ra $\dfrac{MN}{CB} = \dfrac{AN}{AB} = \cos A = \cos 60{^\circ} = \dfrac{1}{2}$.
Do đó, $MN = CB.\dfrac{1}{2} = 10.\dfrac{1}{2} = 5\left( \text{cm} \right)$.
Tính chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác $MIN$
Ta có: $\angle NAI = \angle NMI$ (tứ giác MANI nội tiếp và $\angle NAI$ và $\angle NMI$ là góc nội tiếp chắn cung NI)
Và $\angle NMI = \angle NBC$ (góc nội tiếp chắn cung NC).
Suy ra $\angle NAI = \angle NBC$.
Xét $\Delta ANI$ và $\Delta BNC$ có:
$\angle ANI = \angle BNC = 90^{{^\circ}}$
$\angle NAI = \angle NBC$ (cmt)
Suy ra $\Delta ANI \backsim \Delta BNC$ (g-g), suy ra $\dfrac{AI}{BC} = \dfrac{NI}{NC} = \cos\angle NIC$.
Mà $\angle NIC = \angle MAN = 60^{{^\circ}}$ (vì $\angle NIC$ và $\angle MAN$ cùng bù với $\angle MIN$)
Suy ra $\dfrac{AI}{BC} = \cos 60^{0} = \dfrac{1}{2}$, do đó $AI = \dfrac{1}{2}.BC = \dfrac{1}{2}.10 = 5\left( \text{cm} \right)$.
Mà đường tròn ngoại tiếp tam giác $MIN$ có đường kính là $AI$ nên ta có chu vi của đường tròn đó là: $C = \pi.AI = 3,14.5 \approx 15,7\left( \text{cm} \right)$.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
