Cho $\Delta ABC$ có ba góc nhọn $\left( {AB < AC} \right)$ nội tiếp đường tròn $\left( {O;\, R}
Cho $\Delta ABC$ có ba góc nhọn $\left( {AB < AC} \right)$ nội tiếp đường tròn $\left( {O;\, R} \right)$. Ba đường cao $AD$, $BE$¸ $CF$ của $\Delta ABC$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là giao điểm của $(O)$ với các tia $BE$, $AD$( $M$ khác $B$, $N$ khác $A$).
a) Chứng minh: Tứ giác $ABDE$ nội tiếp và xác định tâm $I$ của đường tròn này, từ đó suy ra tứ giác $DE\,\text{//}\, MN$ nội tiếp.
b) Kẻ đường kính $CK$ của $(O)$. Chứng minh: Tứ giác $AKBH$ là hình bình hành và suy ra $3$ điểm $H$, $I$, $K$ thẳng hàng.
c) Trong trường hợp $\angle BCA = 60{^\circ}$. Chứng minh: $DE = \dfrac{1}{2}AB$ và tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung nhỏ $DE$ và dây cung $DE$ của $(I)$ theo $R$.
Quảng cáo
a) Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. Từ đó chứng minh $IA = IB = IE = ID$ và kết luận tứ giác nội tiếp.
Chứng minh $\angle BED = \angle BMN\left( {= \angle BAD} \right)$ và hai góc ở vị trí đồng vị nên ta kết luận được hai đường thẳng song song.
b) Chứng minh tứ giác có hai cặp cạnh đối song song là hình bình hành.
Từ đó dựa vào tính chất hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường để kết luận 3 điểm thẳng hàng.
c) Ta chứng minh $\Delta DIE$ đều để suy ra góc 60 độ. Từ đó $\left. \Rightarrow DE = IE = \dfrac{1}{2}AB \right.$
Diện tích hình viên phân $DmE$ = Diện tích quạt tròn $IDmE$ – Diện tích tam giác đều $IDE$.
a) Gọi $I$ là trung điểm của $AB$.
Xét $\Delta ABE$ vuông tại $E$, có $EI$ là đường trung tuyến
Nên $IE = IA = IB = \dfrac{1}{2}AB$ $(1)$
Xét $\Delta ABD$ vuông tại $D$, có $DI$ là đường trung tuyến
Nên $ID = IA = IB = \dfrac{1}{2}AB$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $IA = IB = IE = ID$.
Suy ra: Tứ giác $ABDE$ nội tiếp đường tròn $(I)$.
$\left. \Rightarrow\angle BAD = \angle BED \right.$(hai góc nội tiếp cùng chắn cung BD)
Mà: $\angle BAD = \angle BMN$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BN)
Nên: $\angle BED = \angle BMN\left( {= \angle BAD} \right)$.
Mặt khác: hai góc này ở vị trí đồng vị
Do đó: $DE\,\text{//}MN$.
b)
Xét $\Delta CAK$, có $AO$ là đường trung tuyến và $AO = \dfrac{1}{2}CK$.
$\left. \Rightarrow\Delta CAK \right.$ vuông tại $A$.
$\left. \Rightarrow KA\bot CA \right.$.
Xét $\Delta CBK$, có $BO$ là đường trung tuyến và $BO = \dfrac{1}{2}CK$.
$\left. \Rightarrow\Delta CBK \right.$ vuông tại $B$.
$\left. \Rightarrow KB\bot CB \right.$.
Xét tứ giác $AKBH$, ta có: $\left\{ \begin{array}{l} {AH\,\text{//}\, BK\,\left( {\bot CB} \right)} \\ {AK\,\text{//}\, BH\left( {\bot AC} \right)} \end{array} \right.$
$\Rightarrow$Tứ giác $AKBH$ là hình bình hành.
Mà: $I$ là trung điểm của đường chéo $AB$
Nên: $I$ là trung điểm của đường chéo $HK$.
Hay $3$ điểm $H$, $I$, $K$ thẳng hàng.
c) Ta có: $\angle BCA + \angle CAD = 90{^\circ}$($\Delta CAD$ vuông tại $D$)
$\left. \Rightarrow\angle CAD = 90{^\circ} - \angle BCA = 30{^\circ} \right.$.
Mà: $\angle DIE = 2\angle CAD = 2.30{^\circ} = 60{^\circ}$(góc ở tâm và góc nội tiếp $(I)$ cùng chắn cung DE)
Nên: $\angle DIE = 2.30{^\circ} = 60{^\circ}$.
Suy ra: $\Delta DIE$ đều
$\left. \Rightarrow DE = IE = \dfrac{1}{2}AB \right.$.
Kẻ đường kính $AS$ của $(O)$
$\left. \Rightarrow\angle ASB = \angle ACB \right.$(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
$\left. \Rightarrow\angle ASB = 60{^\circ} \right.$.
Xét $\Delta ABS$, có $BO$ là đường trung tuyến và $BO = \dfrac{1}{2}AS$.
$\left. \Rightarrow\Delta ABS \right.$ vuông tại $B$.
$\left. \Rightarrow\sin\angle ASB = \dfrac{AB}{AS} \right.$ $\left. \Rightarrow AB = AS.\sin 60{^\circ} = 2R.\dfrac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3} \right.$.
Suy ra: $IE = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{R\sqrt{3}}{2}$
Diện tích quạt tròn $IDmE$: $S_{IDmE} = \dfrac{\pi.IE^{2}.60}{360} = \dfrac{\pi.\left( \dfrac{R\sqrt{3}}{2} \right)^{2}.60}{360} = \dfrac{\pi R^{2}}{8}$(đvdt)
Diện tích tam giác đều $IDE$ có cạnh $\dfrac{R\sqrt{3}}{2}$: $S_{\Delta IDE} = \dfrac{IE^{2}\sqrt{3}}{4} = \left( \dfrac{R\sqrt{3}}{2} \right)^{2}.\dfrac{\sqrt{3}}{4} = \dfrac{3R^{2}\sqrt{3}}{16}$(đvdt)
Diện tích hình viên phân $DmE$ là: $S_{DmE} = S_{IDmE} - S_{\Delta IED} = \dfrac{\pi R^{2}}{8} - \dfrac{3R^{2}\sqrt{3}}{16}$(đvdt).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
