Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$đường kính $AB$. Trên tiếp tuyến tại $A$, lấy $M$ sao cho $AM =

Câu hỏi số 785246:

Vận dụng

Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$đường kính $AB$. Trên tiếp tuyến tại $A$, lấy $M$ sao cho $AM = 2R,$$MB$cắt đường tròn $(O)$tại $C$

a) Kẻ $AH\bot OM$tại H. Chứng minh tứ giác$AMCH$nội tiếp.

b) Chứng minh $MA^{2} = MB.MC$và $\dfrac{MB}{MC} = \dfrac{AB^{2}}{AC^{2}}$.

c) Chứng minh $HB\bot HC$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:785246

Phương pháp giải

a) Chứng minh A, M, C, H cùng thuộc một đường tròn đường kính AM, từ đó suy ra tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh $\Delta MAC\, \backsim \,\Delta MBA$(g. g) để suy ra cặp cạnh tỉ lệ.

Chứng minh $\dfrac{MB}{MC} = 2$ và áp dụng định lí Pythagore để chứng minh $\dfrac{AB^{2}}{AC^{2}} = 2$.

c) Từ $\angle MHB = \angle MHC + \angle CHB$ ; $\angle AHC = \angle MHC + \angle AHM$ ta suy ra $\angle CHB = \angle AHM = 90^{0}$

Khi đó kết luận hai đường thẳng vuông góc.

Giải chi tiết

a) Ta có $\angle ACB = \dfrac{1}{2}sdAB = \dfrac{1}{2}.180^{0} = 90^{0}$ (tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra $\angle ACM = \angle ACB = 90^{0}$ (vì $\angle ACM$kề bù $\angle ACB$)

$\Delta MAC$vuông tại C nên M, A, C cùng thuộc đường tròn đường kính AM

$\Delta MAH$vuông tại H nên M, A, H cùng thuộc đường tròn đường kính AM

Vậy A, M, C, H cùng thuộc một đường tròn đường kính AM hay tứ giác AMCH nội tiếp.

b) Chứng minh $MA^{2} = MB.MC$

Xét $\Delta MAC$và $\Delta MBA$ có:

$\angle AMB$chung

$\angle MCA = \angle MAB\left( {= 90^{0}} \right)$

Nên $\Delta MAC\, \backsim \,\Delta MBA$(g. g)

Suy ra $\dfrac{MA}{MB} = \dfrac{MC}{MA}$hay $MA^{2} = MB.MC$

Chứng minh $\dfrac{MB}{MC} = \dfrac{AB^{2}}{AC^{2}}$

$\Delta ABM$có: $\angle MAB = 90^{0}$; AB = AM = 2R nên $\Delta ABM$ vuông cân tại A

Có AC là đường cao nên AC cũng là đường trung tuyến

Suy ra $MC = CB = \dfrac{1}{2}MB$ hay $\dfrac{MB}{MC} = 2$(1)

Và $AC = CM = CB$

Xét $\Delta CAB$vuông cân tại C, có:

$AB^{2} = AC^{2} + CB^{2}$ (định lí Pythagore)

$AB^{2} = 2AC^{2}\left( {AC = CB} \right)$

Suy ra $\dfrac{AB^{2}}{AC^{2}} = 2$(2)

Từ (1) và (2) suy ra $\dfrac{MB}{MC} = \dfrac{AB^{2}}{AC^{2}} = 2$

c) $\Delta MAO$ vuông tại A nên $OM = \sqrt{AM^{2} - AO^{2}} = \sqrt{4R^{2} - R^{2}} = R\sqrt{3}$

$\Delta\, HOA \backsim \,\Delta AOM$ (g.g) vì $\angle AHO = \angle MAO = 90^{0}$; $\angle AOH = \angle AOM$ (góc chung)

Nên $\dfrac{HO}{AO} = \dfrac{HA}{AM} = \dfrac{OA}{OM} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$; $HA = \dfrac{AM}{\sqrt{3}} = \dfrac{2R}{\sqrt{3}}$

$\Delta\, AOM \backsim \,\Delta HAM$ (g.g) vì $\angle MAO = \angle HAM = 90^{0}$; $\angle AMO = \angle HMA$(góc chung)

Nên $\dfrac{AO}{HA} = \dfrac{AM}{HM} = \dfrac{OM}{AM} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$; $HM = \dfrac{2AM}{\sqrt{3}} = \dfrac{4R}{\sqrt{3}}$

Suy ra $\Delta\, HOA \backsim \,\Delta HAM$nên $\dfrac{HO}{HA} = \dfrac{OA}{AM} = \dfrac{HA}{HM} = \dfrac{2R}{\sqrt{3}}.\dfrac{\sqrt{3}}{4R} = \dfrac{1}{2}$ (1)

Mặt khác $\Delta AMB$ vuông cân tại A có AC là đường cao cũng là đường trung tuyến

Nên $AC = \dfrac{1}{2}MB$ hay $\dfrac{AC}{MB} = \dfrac{1}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) : $\dfrac{HA}{HM} = \dfrac{AC}{MB}$

Xét $\Delta MHB$ và $\Delta AHC$ có :

$\angle AMB = \angle HAC$ (cùng chắn cung HC) ; $\dfrac{HA}{HM} = \dfrac{AC}{MB}$ (chứng minh trên)

Nên $\Delta\, MHB \backsim \,\Delta AHC$ (c.g.c) suy ra $\angle MHB = \angle AHC$ (cặp góc tương ứng)

Mà : $\angle MHB = \angle MHC + \angle CHB$ ; $\angle AHC = \angle MHC + \angle AHM$

Suy ra $\angle CHB = \angle AHM = 90^{0}$

Vậy $HB\bot HC$

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link