Người ta cắt $\dfrac{1}{3}$ tấm tôn hình tròn để cuộc lại thành hình nón (như hình). Biết
Người ta cắt $\dfrac{1}{3}$ tấm tôn hình tròn để cuộc lại thành hình nón (như hình). Biết chiều dài AB là giá trị nhỏ nhất của biểu thức AB = $\dfrac{n^{2}}{m - 1} + \dfrac{m^{2}}{n - 1}$, với n > 1; m > 1 (đơn vị của AB là cm). Thể tích của hình nón là:
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Thể tích của hình nón là: $V = \dfrac{1}{3}\pi r^{2}h$
* Với n > 1; m > 1 thì $\dfrac{n^{2}}{m - 1};\dfrac{m^{2}}{n - 1}$ là hai số dương
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
AB = $\dfrac{n^{2}}{m - 1} + \dfrac{m^{2}}{n - 1} \geq 2\sqrt{\dfrac{n^{2}}{m - 1}.\dfrac{m^{2}}{n - 1}} = 2\dfrac{n}{\sqrt{n - 1}}.\dfrac{m}{\sqrt{m - 1}}$
*Mà $\left. \dfrac{n}{\sqrt{n - 1}} \geq 2\Leftrightarrow\dfrac{n - 2\sqrt{n - 1}}{\sqrt{n - 1}} \geq 0\Leftrightarrow\dfrac{\left( {\sqrt{n - 1} - 1} \right)^{2}}{\sqrt{n - 1}} \geq 0 \right.$ (1)
Do bất đẳng thức (1) đúng với mọi $n > 1$ nên bất đẳng thức cần chứng minh đúng.
Dấu $" = "$ xảy ra khi và chỉ khi $n = 2$
* Áp dụng kết quả câu trên ta có: $2\dfrac{n}{\sqrt{n - 1}}.\dfrac{m}{\sqrt{m - 1}} \geq 8$
Do đó $AB \geq 8$
Vậy ABmin = 8 khi $n = m = 2$
Gọi $H$ là trung điểm của $AB$
Khi đó $OH\bot AB,\,\, OH = 4\left( {cm} \right)$
Ta có: $\left. \angle AOB = 120{^\circ}\Rightarrow\angle AOH = 60{^\circ} \right.$
Áp dụng định lí sin trong tam giác $AOH$ vuông tại $H$
$OA = \dfrac{AH}{\sin 60{^\circ}} = \dfrac{4}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{8}{\sqrt{3}}\left( {cm} \right)$
$l_{\overset{\frown}{AB}} = \dfrac{\pi.OA.n}{180} = \dfrac{\pi.\dfrac{8}{\sqrt{3}}.120}{180} = \dfrac{16\sqrt{3}}{9}\pi\left( {cm} \right)$
Mà $\left. l_{\overset{\frown}{AB}} = 2\pi r\Rightarrow\dfrac{16\sqrt{3}}{9}\pi = 2\pi r\Rightarrow r = \dfrac{8\sqrt{3}}{9}\left( {cm} \right) \right.$
$\left. \Rightarrow h = \sqrt{OA^{2} - r^{2}} = \sqrt{\dfrac{64}{3} - \dfrac{64}{27}} = \dfrac{16\sqrt{6}}{9}\left( {cm} \right) \right.$
Thể tích của khối chóp là $V = \dfrac{1}{3}\pi r^{2}h = \dfrac{1}{3}\pi\left( \dfrac{8\sqrt{3}}{9} \right)^{2}.\dfrac{16\sqrt{6}}{9} =$
Đáp án cần chọn là: B
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
