Cho tam giác $ABC$ và $D$ là một điểm bất kì không thuộc các đường thẳng $AB$ và $AC$. Trên

Câu hỏi số 786982:

Vận dụng

Cho tam giác $ABC$ và $D$ là một điểm bất kì không thuộc các đường thẳng $AB$ và $AC$. Trên đoạn thẳng $AD$ lấy điểm $M$ ($M$ khác $A$ và $D$). Gọi $I$ là một điểm thuộc đoạn $AH$ ($I$ khác $A,\,\, D$ và khác giao điểm của $AD$ và $BC$). Gọi $E,\,\, F$ tương ứng là giao điểm của $BI,\,\, CI$ lần lượt với $AC,\,\, AB$. Gọi $K,\,\, H$ tương ứng là giao điểm của $DE,\,\, DF$ lần lượt với $CM,\,\, BM$. Chứng minh rằng các đường thẳng $CM,\,\, AD,\,\, BK$ đồng quy

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:786982

Phương pháp giải

Sử dụng định lí Menelaus cho $\Delta AMB,\,\,\Delta AMC$

Sử dụng định lí Ceva với $AG,\,\, BE,\,\, CF$ đồng quy

Từ đó suy ra đpcm

Giải chi tiết

Gọi $G$ là giao điểm của $AD$ và $BC$

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác $AMB$ ta được $\dfrac{DM}{DA}.\dfrac{FA}{FB}.\dfrac{HB}{HM} = 1$

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác $AMC$ ta được $\dfrac{DM}{DA}.\dfrac{EA}{EC}.\dfrac{KC}{KM} = 1$

Từ đó suy ra $\dfrac{FA}{FB}.\dfrac{HB}{HM} = \dfrac{EA}{EC}.\dfrac{KC}{KM}$

$\left. \Rightarrow\dfrac{FA}{FB}.\dfrac{EC}{EA} = \dfrac{KC}{KM}.\dfrac{HM}{HB} \right.$

Mà $AG,\,\, BE,\,\, CF$ đồng quy nên $\dfrac{GB}{GC}.\dfrac{EC}{EA}.\dfrac{FA}{FB} = 1$ (theo định lí Ceva)

Suy ra $\dfrac{GC}{GB} = \dfrac{KM}{KC}.\dfrac{HM}{HB}$

Hay $\dfrac{GB}{GC}.\dfrac{KC}{KM}.\dfrac{HM}{HB} = 1$

Như vậy theo định lí Ceva ta được $CM,\,\, AD,\,\, BK$ đồng quy

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link