Tìm tất cả các bộ ba số tự nhiên không nhỏ hơn 1 sao cho tích của hai số bất kì cộng với 1

Câu hỏi số 787392:

Vận dụng

Tìm tất cả các bộ ba số tự nhiên không nhỏ hơn 1 sao cho tích của hai số bất kì cộng với 1 chia hết cho số còn lại.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:787392

Phương pháp giải

Giả sử ba số đã cho là $a \geq b \geq c \geq 1$. Khi đó $\dfrac{ab + 1}{c},\dfrac{bc + 1}{a},\dfrac{ac + 1}{b} \in {\mathbb{N}}^{*}$nên $\dfrac{(ab + 1)(ac + 1)(bc + 1)}{abc} \in {\mathbb{N}}^{*}$.

Đặt $ab + bc + ca + 1 = kabc\left( {k \in {\mathbb{N}}^{*}} \right)$ thì $\text{k} \leq 4$. Xét các trường hợp của k, từ đó suy ra a, b, c.

Giải chi tiết

Giả sử ba số đã cho là $a \geq b \geq c \geq 1$. Khi đó $\dfrac{ab + 1}{c},\dfrac{bc + 1}{a},\dfrac{ac + 1}{b} \in {\mathbb{N}}^{*}$

Suy ra $\dfrac{(ab + 1)(ac + 1)(bc + 1)}{abc} \in {\mathbb{N}}^{*}$

Do đó: $ab + bc + ca + 1 \vdots abc$

Đặt $ab + bc + ca + 1 = kabc\left( {k \in {\mathbb{N}}^{*}} \right)$ (1)

Vì $ab + bc + ca + 1 \leq 4abc$ nên $k \leq 4$

TH1: $k = 4$ thì $a = b = c = 1$ (thỏa mãn)

TH2: $k = 3$ thì $ab + bc + ca + 1 = 3abc$ suy ra $3abc \leq 4ab$ suy ra $c \leq 1$

Do đó $\text{c} = 1$ suy ra $a + b + 1 = 2ab$ hay $2ab \leq 3a$ suy ra $b \leq \dfrac{3}{2}$

Vậy $b = 1;a = 2$.

TH3: $\text{k} = 2$ thì $ab + bc + ca + 1 = 2abc$ta suy ra $2\text{abc} \leq 4\text{ab}$suy ra $c \leq 2$

- Với $\text{c} = 1$ thì $\text{ab} + \text{a} + \text{b} + 1 = 2\text{ab}$ suy ra hay $ab \leq 3a$ suy ra $b \leq 3$.

Nếu $b = 1$ thì $a + 2 = 2a$ hay $a = 1$

Nếu $b = 2$ thì $a + 3 = 2a$ hay $a = 3$

- Với $\text{c} = 2$ thì $\text{2a} + 2\text{b} + 1 = 3\text{ab}$ suy ra $\left( {3a - 2} \right)\left( {3b - 2} \right) = 7$. Suy ra $a = 3;b = 1$

Khi đó: $ab \leq 5a$ suy ra $b \leq 5$ mà $\text{2a} + 2\text{b} + 1 = 3\text{ab}$ nên a, b lẻ.

TH4: $\text{k} = 1$ thì $ab + bc + ca + 1 = abc$suy ra $abc \leq 4ab$ suy ra $c \leq 4$

- Với $\text{c} = 1$ thì $a + b + 1 = 0$(loại)

- Với $\text{c} = 2$ thì $2b + 2a + 1 = ab$ hay $\left( {a - 2} \right)\left( {b - 2} \right) = 5$. Suy ra $a = 7;b = 3$

- Với $\text{c} = 3$ thì $3b + 3a + 1 = 2ab$ hay $\left( {2a - 3} \right)\left( {2b - 3} \right) = 11$. Suy ra $a = 7;b = 2$

Vậy các bộ số thoả mãn là: $(1;1;1),(2;1;1),(3;2;1),(7;3;2)$và các hoán vị.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link