Tìm tất cả các số nguyên dương $\text{a},\text{b},\text{c}$ đôi một khác nhau sao cho biểu thức

Câu hỏi số 787391:

Vận dụng

Tìm tất cả các số nguyên dương $\text{a},\text{b},\text{c}$ đôi một khác nhau sao cho biểu thức $\text{A} = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{ab} + \dfrac{1}{bc} + \dfrac{1}{ca}$ nhận giá trị nguyên dương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:787391

Phương pháp giải

Ta có: $A.abc = ab + bc + ca + a + b + c$. Khi đó $\text{a},\text{b},\text{c}$ cùng tính chẵn lẻ. Không mất tổng quát, giả sử $\text{a} < \text{b} < \text{c}$. Nếu $a \geq 3$ thì $b \geq 5,c \geq 7$ và $\text{A} < 1$, loại. Suy ra $\text{a} = 1$ hoặc $\text{a} = 2$. Thử chọn để tìm nghiệm.

Giải chi tiết

Ta có: $A.abc = ab + bc + ca + a + b + c$(1)

Từ (1) ta chứng minh được $\text{a},\text{b},\text{c}$ cùng tính chẵn lẻ. Không mất tổng quát, giả sử $\text{a} < \text{b} < \text{c}$.

Nếu $a \geq 3$ thì $b \geq 5,c \geq 7$ và $A < 1$, loại. Suy ra $a = 1$ hoặc $a = 2$

Nếu $a = 1$ thì $b \geq 3,c \geq 5$ do đó $1 < A \leq 2$ suy ra $A = 2$.

Thay $a = 1,~A = 2$ ta được: $bc = 2b + 2c + 1$ hay $(b - 2)(c - 2) = 5$.

Từ đó ta được $b = 3,c = 7$.

Nếu $a = 2$ thì $b \geq 4,c \geq 6$ do đó $\dfrac{1}{2} < A < 2$ suy ra $A = 1$. $A.abc = ab + bc + ca + a + b + c$

Thay $a = 2,~A = 1$ ta được: $bc = 3b + 3c + 2$ hay $(b - 3)(c - 3) = 11$.

Từ đó ta được $b = 4,c = 14$.

Vậy $(a;b;c) = (2;4;14),(1;3;7)$ và các hoán vị.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link