Cho đường tròn $(O)$, từ điểm $A$ ở ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến $AB$và$AC$($B,\,\, C$

Câu hỏi số 787658:

Vận dụng

Cho đường tròn $(O)$, từ điểm $A$ ở ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến $AB$và$AC$($B,\,\, C$ là các tiếp điểm), $OA$cắt $BC$ tại E.

a) Chứng minh tứ giác $ABOC$ nội tiếp.

b) Chứng minh $BC$ vuông góc với $OA$ và $BA.BE = AE.BO$.

c) Gọi $I$thuộc đoạn thẳng $BE$, đường thẳng qua $I$và vuông góc $OI$ cắt các tia $AB,\,\, AC$ theo thứ tự tại $D$ và $F$. Chứng minh $F$ là trung điểm của $AC$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:787658

Phương pháp giải

a) Chứng minh 4 điểm $A,B,O,C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AO$. Từ đó suy ra tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh $OA$ là đường trung trực của $BC$ nên $BC\bot OA$

Chứng minh $\Delta ABO$$\backsim$$\Delta AEB$ (g.g) từ đó suy ra cặp đoạn thẳng tỉ lệ.

c) Chứng minh tứ giác $DBIO$ nội tiếp đường tròn đường kính $DO$

Suy ra $\angle IDO = \angle IBO$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung IO)

Chứng minh tương tự ta có: $\angle IFO = \angle ICO$

Mặt khác: $\left. OB = OC\Rightarrow\Delta OBC \right.$cân ở $O$ nên $\angle OBC = \angle OCB$ hay $\angle IBO = \angle ICO$

Do đó: $\left. \angle IDO = \angle IFO\Rightarrow\Delta ODF \right.$ cân ở $O$ mà $OI\bot DF$ (gt)

Vậy ta kết luận $I$ là trung điểm của $DF$

Giải chi tiết

a) Chứng minh tứ giác $ABOC$ nội tiếp.

Xét $(O)$có:

$AB$là tiếp tuyến tại $B$ (gt) nên $\left. AB\bot OB\Rightarrow\angle ABO = 90^{0} \right.$

$\left. \Rightarrow\Delta ABO \right.$ vuông tại $B$ nên điểm $B$ thuộc đường tròn đường kính $AO$ (1)

Mặt khác: $AC$là tiếp tuyến tại $C$ (gt) nên $\left. AC\bot OC\Rightarrow\angle ACO = 90^{0} \right.$

$\left. \Rightarrow\Delta ACO \right.$vuông tại $C$ nên điểm $C$ thuộc đường tròn đường kính $AO$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 4 điểm $A,B,O,C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AO$

Do đó, tứ giác $ABOC$ nội tiếp đường tròn đường kính $AO$

b) Chứng minh $BC$ vuông góc với $OA$ và $BA.BE = AE.BO$.

* Chứng minh $BC$ vuông góc với $OA$

Xét $(O)$có: $AB$và$AC$ là hai tiếp tuyến cắt nhau ở $A$ (gt)

$\left. \Rightarrow AB = AC \right.$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà $OB = OC$ ($B,\,\, C$ thuộc đường tròn$(O)$)

$\left. \Rightarrow OA \right.$ là đường trung trực của $BC$ nên $BC\bot OA$

* Chứng minh $BA.BE = AE.BO$

Xét $\Delta ABO$ và $\Delta AEB$ có:

$\angle ABO = \angle AEB = 90^{0}(cmt)$

$\angle BAO$ góc chung

Suy ra: $\Delta ABO$$\backsim$$\Delta AEB$ (g.g)

Khi đó $\dfrac{AB}{AE} = \dfrac{BO}{EB}$ hay $AB.EB = AE.BO$

c) Gọi $I$ là điểm thuộc đoạn thẳng $BE$, đường thẳng qua $I$và vuông góc $OI$cắt các tia $AB,\,\, AC$ theo thứ tự tại $D$và $F$. Chứng minh $F$ là trung điểm của $AC$.

Vì $\left. AB\bot OB\Rightarrow\angle DBO = 90^{0} \right.$

$\left. \Rightarrow\Delta DBO \right.$vuông tại $B$ nên điểm $B$ thuộc đường tròn đường kính $DO$ (1)

Vì $\left. OI\bot DF\Rightarrow\angle DIO = 90^{0} \right.$

$\left. \Rightarrow\Delta DIO \right.$vuông tại $I$ nên điểm $I$ thuộc đường tròn đường kính $DO$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 4 điểm $D,B,I,O$ cùng thuộc đường tròn đường kính $DO$

Do đó, tứ giác $DBIO$ nội tiếp đường tròn đường kính $DO$

Suy ra $\angle IDO = \angle IBO$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung $IO$)

Chứng minh tương tự ta có: $\angle IFO = \angle ICO$

Mặt khác: $\left. OB = OC\Rightarrow\Delta OBC \right.$cân ở $O$ nên $\angle OBC = \angle OCB$ hay $\angle IBO = \angle ICO$

Do đó: $\left. \angle IDO = \angle IFO\Rightarrow\Delta ODF \right.$ cân ở $O$ mà $OI\bot DF$ (gt)

Vậy $I$ là trung điểm của $DF$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link