Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O; R). Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB. Vẽ đường kính BD và MD
Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O; R). Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB. Vẽ đường kính BD và MD cắt $(O)$ tại C. Gọi H là giao điểm của MO và AB.
a) Chứng minh tứ giác $MAOB$ nội tiếp và $MA^{2} = MC.MD$.
b) Gọi K là trung điểm của CD, L là giao điểm của AH và MC. Chứng minh $MH.MO = ML.MK$
c) Cho $AB = R\sqrt{3}$ và $\angle MHC = 30{^\circ}$. Tính MH và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OLH theo R.
Quảng cáo
a) Chứng minh tứ giác $MAOB$ nội tiếp
Chứng minh $\Delta OAM$ và $\Delta OBM$ cùng nội tiếp đường tròn đường kính OM, suy ra M, A, O, B cùng thuộc đường tròn đường kính OM hay MAOB nội tiếp.
Chứng minh $MA^{2} = MC.MD$
Chứng minh $\Delta MCB \backsim \Delta MBD$ (g.g) suy ra $\dfrac{MC}{MB} = \dfrac{MB}{MD}$, do đó $MB^{2} = MC.MD$
Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau suy ra $MB = MA$ nên $MA^{2} = MC.MD$.
b) Chứng minh $MH.MO = MI.MK$
Chứng minh $\Delta ODC$ cân tại O có OK là đường trung tuyến nên OK đồng thời là đường cao của $\Delta ODC$, suy ra $OK\bot CD$.
Chứng minh OM là đường trung trực của AB.
Mà OM cắt AB tại H nên $OM\bot AB$ tại H và H là trung điểm AB.
Chứng minh $\Delta MKO \backsim \Delta MHL$ (g.g), suy ra $\dfrac{MK}{MH} = \dfrac{MO}{ML}$, do đó $MK.ML = MH.MO$
c) Tính MH theo R
Vì H là trung điểm của AB nên tính được HB theo AB.
Sử dụng tỉ số lượng giác trong $\Delta OHB$ vuông tại H: $\sin\angle HOB = \dfrac{HB}{OB}$ suy ra $\angle HOB$ hay $\angle MOB$.
Sử dụng tỉ số lượng giác trong $\Delta HBM$vuông tại H: $\tan\angle HBM = \dfrac{MH}{HB}$ để tính MH.
Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OLH theo R
Xét $\Delta OLH$ vuông tại H nên $\Delta OLH$ nội tiếp đường tròn đường kính OL nên bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta OLH$ là $OL:2$. Do đó ta cần tính độ dài OL.
Chứng minh $\Delta MBO \backsim \Delta MHB$ (g.g), suy ra $\dfrac{MB}{MH} = \dfrac{MO}{MB}$, do đó $MB^{2} = MH.MO$
kết hợp với $MB^{2} = MC.MD$ (cmt) để có $\dfrac{MH}{MD} = \dfrac{MC}{MO}$
Chứng minh $\Delta MCH \backsim \Delta MOD$ (c.g.c), suy ra $\angle MHC = \angle MDO = 30^{{^\circ}}$
Sử dụng tỉ số lượng giác trong $\Delta DKO$ vuông tại K: $\sin\angle KDO = \dfrac{KO}{DO}$ để tính KO.
Sử dụng tỉ số lượng giác trong $\Delta OBM$ vuông tại B: $\cos\angle MOB = \dfrac{OB}{OM}$ để tính OM.
Áp dụng định lí Pythagore vào $\Delta OKM$ vuông tại K để tính MK.
Từ $\Delta MKO \backsim \Delta MHL$ để tính HL.
Tính OH dựa vào OM, MH.
Áp dụng định lí Pythagore vào $\Delta OLH$ vuông tại L để tính OL.
Do đó ta tính được bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta OLH$ là $OL:2$.
a) Chứng minh tứ giác $MAOB$ nội tiếp
Xét $\Delta OAM$ vuông tại A ($\angle OAM = 90{^\circ}$) nên $\Delta OAM$ nội tiếp đường tròn đường kính OM, suy ra O, A, M cùng thuộc đường tròn đường kính OM (1)
Xét $\Delta OBM$ vuông tại B ($\angle OBM = 90{^\circ}$) nên $\Delta OBM$ nội tiếp đường tròn đường kính OM, suy ra O, B, M cùng thuộc đường tròn đường kính OM (2)
Từ (1) và (2) suy ra M, A, O, B cùng thuộc đường tròn đường kính OM hay MAOB nội tiếp.
Chứng minh $MA^{2} = MC.MD$
Ta có: $\angle DCB = 90^{{^\circ}}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét $\Delta MCB$ và $\Delta MBD$ có:
$\angle M$ chung
$\angle MCB = \angle MBD = 90^{{^\circ}}$
nên $\Delta MCB \backsim \Delta MBD$ (g.g) suy ra $\dfrac{MC}{MB} = \dfrac{MB}{MD}$, do đó $MB^{2} = MC.MD$
Mà $MB = MA$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) nên $MA^{2} = MC.MD$.
b) Chứng minh $MH.MO = MI.MK$
Xét $\Delta ODC$ có: $OD = OC$ (bán kính) nên $\Delta ODC$ cân tại O.
Mà OK là đường trung tuyến (K là trung điểm CD) nên OK đồng thời là đường cao của $\Delta ODC$, suy ra $OK\bot CD$.
Ta có:
$MA = MB$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
$OA = OB$ (bán kính)
nên OM là đường trung trực của AB.
Mà OM cắt AB tại H nên $OM\bot AB$ tại H và H là trung điểm AB.
Xét $\Delta MKO$ và $\Delta MHL$ có:
$\angle MKO = \angle MHL = 90{^\circ}$ $\left( {OK\bot CD,\ OM\bot AB} \right)$.
$\angle M$ chung
nên $\Delta MKO \backsim \Delta MHL$ (g.g), suy ra $\dfrac{MK}{MH} = \dfrac{MO}{ML}$, do đó $MK.ML = MH.MO$
c) Tính MH theo R
Vì H là trung điểm của AB nên $HB = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{R\sqrt{3}}{2}$
Xét $\Delta OHB$ vuông tại H, ta có: $\sin\angle HOB = \dfrac{HB}{OB} = \dfrac{\dfrac{R\sqrt{3}}{2}}{R} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
suy ra $\angle HOB = 60^{{^\circ}}$ hay $\angle MOB = 60^{{^\circ}}$
Ta có: $\angle HBM = \angle MOB = 60^{{^\circ}}$ (cùng phụ với $\angle HMB$)
Xét $\Delta HBM$vuông tại H có:
$\begin{array}{l} {\tan\angle HBM = \dfrac{MH}{HB}} \\ {\tan 60^{{^\circ}} = \dfrac{MH}{\dfrac{R\sqrt{3}}{2}}} \\ {MH = \dfrac{R\sqrt{3}}{2}.\tan 60^{{^\circ}}} \\ {MH = \dfrac{3}{2}R} \end{array}$
Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OLH theo R
Xét $\Delta OLH$ vuông tại H nên $\Delta OLH$ nội tiếp đường tròn đường kính OL nên bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta OLH$ là $OL:2$.
Xét $\Delta MBO$ và $\Delta MHB$ có:
$\angle M$chung
$\angle HBM = \angle MOB$ (cùng phụ với $\angle HMB$)
nên $\Delta MBO \backsim \Delta MHB$ (g.g), suy ra $\dfrac{MB}{MH} = \dfrac{MO}{MB}$, do đó $MB^{2} = MH.MO$
Mà $MB^{2} = MC.MD$ (cmt) nên $MH.MO = MC.MD$
suy ra $\dfrac{MH}{MD} = \dfrac{MC}{MO}$
Xét $\Delta MCH$ và $\Delta MOD$ có:
$\angle M$ chung
$\dfrac{MH}{MD} = \dfrac{MC}{MO}$ (cmt)
nên $\Delta MCH \backsim \Delta MOD$ (c.g.c), suy ra $\angle MHC = \angle MDO = 30{^\circ}$
Xét $\Delta DKO$ vuông tại K, ta có:
$\sin\angle KDO = \dfrac{KO}{DO}$
$\sin 30{^\circ} = \dfrac{KO}{R}$
$KO = \sin 30{^\circ}.R = \dfrac{R}{2}$.
Xét $\Delta OBM$ vuông tại B, ta có:
$\begin{array}{l} {\cos\angle MOB = \dfrac{OB}{OM}} \\ {\cos 60{^\circ} = \dfrac{R}{OM}} \\ {OM = \dfrac{R}{\cos 60{^\circ}} = 2R} \end{array}$
Áp dụng định lí Pythagore vào $\Delta OKM$ vuông tại K, ta có:
$MK^{2} = MO^{2} - OK^{2} = 4R^{2} - \dfrac{R^{2}}{4} = \dfrac{15}{4}R^{2}$ suy ra $MK = \dfrac{R\sqrt{15}}{2}$
Mà $\Delta MKO \backsim \Delta MHL$ (cmt) nên $\dfrac{MK}{MH} = \dfrac{KO}{HL}$
Do đó $HL = \dfrac{KO.MH}{MK} = \dfrac{\dfrac{R}{2}.\dfrac{3}{2}R}{\dfrac{R\sqrt{15}}{2}} = \dfrac{3}{2\sqrt{15}}.R = \dfrac{\sqrt{15}}{10}R$
Ta có: $OH = OM - MH = 2R - \dfrac{3}{2}R = \dfrac{1}{2}R$
Áp dụng định lí Pythagore vào $\Delta OLH$ vuông tại L, ta có:
$OL^{2} = HL^{2} + OH^{2} = \dfrac{15}{100}R^{2} + \dfrac{1}{4}R^{2} = \dfrac{2}{5}R^{2}$ suy ra $OL = R\sqrt{\dfrac{2}{5}}$
Xét $\Delta OLH$ vuông tại H nên $\Delta OLH$ nội tiếp đường tròn đường kính OL, do đó bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta OLH$ là:
$OL:2 = R\sqrt{\dfrac{2}{5}}:2 = R\dfrac{\sqrt{10}}{10}$.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
