Cho tam giác ABC ba góc nhọn nội tiếp (O;R), hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H.a) Chứng minh tứ
Cho tam giác ABC ba góc nhọn nội tiếp (O;R), hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh tứ giác BFCE nội tiếp và $AO\bot EF$
b) Chứng minh: ${\sin ^2}\angle BAC{\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} {\cos ^2}\angle BAC = 1$ và $B{C^2}{\mkern 1mu} = {\mkern 1mu} A{B^2}{\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} A{C^2}{\mkern 1mu} - 2.AB.AC.cos\angle BAC$
c) Gọi S là diện tích tam giác ABC, chứng minh $S = {\mkern 1mu} \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin \angle BAC$. Cho $AB = 6;{\mkern 1mu} AC = 8;BC = 2\sqrt {13} $. Tính diện tích tam giác ABC.
Quảng cáo
a) Chứng minh tứ giác BFCE nội tiếp
Chứng minh tam giác BEC và tam giác CFB vuông tại E và F nên cùng nội tiếp đường tròn đường kính BC, do đó tứ giác BFCE nội tiếp đường tròn đường kính BC.
Chứng minh: $AO\bot EF$
Kẻ tiếp tuyến tại A của (O), suy ra $\angle pAO = 90{^\circ}$
Chứng minh $\angle pAB = \angle ACB$ (hai góc phụ hai góc bằng nhau) và $\angle AFE = \angle ACB$ (tính chất hai góc đối trong tứ giác nội tiếp và hai góc kề bù).
Suy ra $\angle pAB = \angle AFE$, hai góc so le trong nên Ap // EF.
Dẫn đến $AO\bot EF$
b) Chứng minh ${\sin ^2}\angle BAC{\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} {\cos ^2}\angle BAC = 1$
Sử dụng tỉ số lượng giác trong tam giác AEB vuông tại E để biểu diễn $\sin BAC,\cos BAC$.
Sử dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông ABE để chứng minh.
Chứng minh $B{C^2}{\mkern 1mu} = {\mkern 1mu} A{B^2}{\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} A{C^2}{\mkern 1mu} - 2.AB.AC.cos\angle BAC$
Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác BEC vuông tại E, biến đổi $CE^{2}$ theo $AC$ và $AE$.
Suy ra $BC^{2}$ theo BE, AC, AE.
Kết hợp với tỉ số lượng giác $\text{cos}\angle BAE$ để chứng minh.
c) Chứng minh: $S = \,\dfrac{1}{2}AB.AC.\sin\angle BAC$
Viết công thức tính diện tích tam giác ABC theo BE và AC.
Kết hợp hệ thức lượng trong tam giác vuông để biến đổi BE theo AB, ta được đpcm.
Tính diện tích tam giác ABC
Dựa vào $BC^{2}\, = \, AB^{2}\, + \, AC^{2}\, - 2.AB.AC.cos\angle BAC$, thay số để tính $\cos\angle BAC$.
Kết hợp với $\sin^{2}\angle BAC\, + \,\cos^{2}\angle BAC = 1$ suy ra $\sin\angle BAC$.
Thay vào công thức $S = \,\dfrac{1}{2}AB.AC.\sin\angle BAC$.
a) Chứng minh tứ giác BFCE nội tiếp
Xét tam giác BEC ta có:
$BE\bot AC$ (BE là đường cao trong tam giác ABC)
Nên tam giác BEC vuông tại E. Do đó B, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC (1)
Xét tam giác CFB ta có:
$CF\bot AB$ (CF là đường cao trong tam giác ABC)
Nên tam giác CFB vuông tại F. Do đó C, F, B cùng thuộc đường tròn đường kính BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra B, F, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC.
Hay tứ giác BFEC nội tiếp.
Chứng minh: $AO\bot EF$
Kẻ tiếp tuyến tại A của (O), suy ra $\angle pAO = 90{^\circ}$
Kẻ tia AO cắt (O) tại D, khi đó AD là đường kính, suy ra $\angle ACD = 90{^\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Ta có: $\angle pAB + \angle BAD = \angle pAO = 90{^\circ}$
$\angle ACB + \angle BCD = \angle ACD = 90^{{^\circ}}$
Mà $\angle BAD = \angle BCD$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BD trong (O))
Do đó $\angle pAB = \angle ACB$ (3)
Ta lại có: $\angle ACB + \angle BFE = 180^{{^\circ}}$(tứ giác BFEC nội tiếp)
Và $\angle AFE + \angle BFE = 180^{{^\circ}}$ (hai góc kề bù)
Nên $\angle AFE = \angle ACB$ (4)
Từ (3), (4) suy ra $\angle pAB = \angle AFE$
Mà $\angle pAB;{\mkern 1mu} \angle AFE$ ở vị trí so le trong nên Ap // EF
Kết hợp $AO\bot Ap$ (vì Ap là tiếp tuyến).
Vậy $AO\bot EF$
b) Chứng minh ${\sin ^2}\angle BAC{\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} {\cos ^2}\angle BAC = 1$
Xét tam giác AEB vuông tại E, ta có:
$\sin\angle BAE = \dfrac{BE}{AB}$ suy ra $\sin^{2}\angle BAE = \dfrac{BE^{2}}{AB^{2}}$
$\text{cos}\angle BAE = \dfrac{AE}{AB}$ suy ra $\text{cos}^{2}\angle BAE = \dfrac{AE^{2}}{AB^{2}}$
Nên $\sin^{2}\angle BAE + cos^{2}\angle BAE = \dfrac{BE^{2}}{AB^{2}} + \dfrac{AE^{2}}{AB^{2}} = \dfrac{BE^{2} + AE^{2}}{AB^{2}}$
Mà $B{E^2} + A{E^2} = A{B^2}{\mkern 1mu} $(Định lí Pythagore trong tam giác ABE vuông tại E)
Do đó $\sin^{2}\angle BAE + cos^{2}\angle BAE = \dfrac{BE^{2}}{AB^{2}} + \dfrac{AE^{2}}{AB^{2}} = \dfrac{BE^{2} + AE^{2}}{AB^{2}} = \dfrac{AB^{2}}{AB^{2}} = 1$
Hay ${\sin ^2}\angle BAC{\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} c{\rm{o}}{s^2}\angle BAC = 1$ (góc $\angle BAE{\mkern 1mu} $cũng là $\angle BAC{\mkern 1mu} $)
Chứng minh $B{C^2}{\mkern 1mu} = {\mkern 1mu} A{B^2}{\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} A{C^2}{\mkern 1mu} - 2.AB.AC.cos\angle BAC$
Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác BEC vuông tại E ta có:
$BC^{2} = BE^{2} + CE^{2}\,$
Mà $CE^{2} = {(AC - AE)}^{2}\, = AC^{2} - 2.AC.AE + AE^{2}$
Nên $BC^{2} = BE^{2} + AC^{2} - 2.AC.AE + AE^{2}$
$BC^{2} = \left( {BE^{2} + AE^{2}} \right) + AC^{2} - 2.AC.AE$
Ta lại có:
$BE^{2} + AE^{2} = AB^{2}$(cmt)
$\text{cos}\angle BAE = \dfrac{AE}{AB}$(cmt)
suy ra AE = $\text{AB}.\text{cos}\angle BAE = \text{AB}.\text{cos}\angle BAC$
Vậy $B{C^2}{\mkern 1mu} = {\mkern 1mu} A{B^2}{\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} A{C^2}{\mkern 1mu} - 2.AB.AC.cos\angle BAC$
c) Chứng minh: $S = {\mkern 1mu} \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin \angle BAC$
Ta có: $S = {\mkern 1mu} \dfrac{1}{2}BE.AC$
Mà $BE = AB.\sin\angle BAC$ (hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác ABE vuông tại E)
Vậy $S = {\mkern 1mu} \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin \angle BAC$
Tính diện tích tam giác ABC
Ta có: $B{C^2}{\mkern 1mu} = {\mkern 1mu} A{B^2}{\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} A{C^2}{\mkern 1mu} - 2.AB.AC.cos\angle BAC$ (cmt)
${(2\sqrt {13} )^2}{\mkern 1mu} = {\mkern 1mu} {6^2}{\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} {8^2}{\mkern 1mu} - 2.6.8.cos\angle BAC$ suy ra $cos\angle BAC = {\mkern 1mu} \dfrac{1}{2}$
Mà ${\sin ^2}\angle BAC{\mkern 1mu} + {\mkern 1mu} c{\rm{o}}{s^2}\angle BAC = 1$(cmt) suy ra $\sin \angle BAC{\mkern 1mu} = \sqrt {1 - c{\rm{o}}{s^2}\angle BAC} {\mkern 1mu} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$
Vậy $S = {\mkern 1mu} \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin \angle BAC = \dfrac{1}{2}.6.8.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 12\sqrt 3 $
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
