Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ đường kính $AB$. Trên tiếp tuyến tại $A$, lấy $M$ sao cho $AM

Câu hỏi số 787686:

Vận dụng

Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ đường kính $AB$. Trên tiếp tuyến tại $A$, lấy $M$ sao cho $AM = 2R$, $MB$ cắt đường tròn $(O)$ tại $C$.

a) Kẻ $AH\bot OM$ tại H. Chứng minh tứ giác $AMCH$ nội tiếp.

b) Chứng minh $MA^{2} = MB.MC$ và $\dfrac{MB}{MC} = \dfrac{AB^{2}}{AC^{2}}$.

c) Chứng minh $HB\bot HC$ và tính diện tích tứ giác $BCHO$ theo $R$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:787686

Phương pháp giải

a) Chứng minh $\Delta MAC$ và $\Delta MAH$ nội tiếp đường tròn đường kính AM, suy ra A, M, C, H cùng thuộc đường tròn đường kính AM nên tứ giác AMCH nội tiếp.

b) Chứng minh $MA^{2} = MB.MC$

Chứng minh $\Delta MAC\, \backsim \,\Delta MBA$ (g.g) suy ra tỉ số bằng nhau giữa các cặp cạnh tương ứng.

Chứng minh $\dfrac{MB}{MC} = \dfrac{AB^{2}}{AC^{2}}$

Chứng minh $\Delta ABM$ vuông cân tại A nên AC vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến

Suy ra $\dfrac{MB}{MC} = 2$

Sử dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền suy ra $AB = CB$

Áp dụng định lí Pythagore vào $\Delta CAB$ vuông cân tại C suy ra $\dfrac{AB^{2}}{AC^{2}} = 2$

Do đó $\dfrac{MB}{MC} = \dfrac{AB^{2}}{AC^{2}} = 2$

c) Chứng minh $HB\bot HC$

Áp dụng định lí Pythagore vào $\Delta AOM$ vuông tại A để tính cạnh huyền OM.

Chứng minh $\Delta\, HOA \backsim \,\Delta AOM$ (g. g) suy ra tỉ số bằng nhau giữa các cặp cạnh tương ứng để tính $HA$ theo R.

Chứng minh $\Delta\, AOM \backsim \,\Delta HAM$ (g. g) suy ra tỉ số bằng nhau giữa các cặp cạnh tương ứng để tính $HM$ theo R.

Do đó $\Delta\, HOA \backsim \,\Delta HAM$

Chứng minh $\dfrac{HA}{HM} = \dfrac{AC}{MB}$

Suy ra $\Delta\, MHB \backsim \,\Delta AHC$ (c.g.c) suy ra $\angle MHB = \angle AHC$ (cặp góc tương ứng)

Hai góc có chung góc MHC nên $\angle CHB = \angle AHM = 90{^\circ}$

suy ra $HB\bot HC$

Tính diện tích tứ giác $BCHO$ theo $R$

Từ H kẻ $HE\bot AO$

Chứng minh $S_{\Delta HOA} = S_{\Delta HOB}$

Vì $\Delta\, HOA \backsim \,\Delta AOM$ (cmt) suy ra tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng $S_{\Delta HOA}$ và $S_{\Delta AOM}$

Áp dụng định lí Pythagore vào $\Delta ABC$ vuông cân tại C để tính BC.

Chứng minh $\angle HAB = \angle HBC$

Suy ra chứng minh $\Delta\, HAO \backsim \,\Delta HBC$ (g.g) .

Biểu diễn tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng $S_{\Delta HBC}$ và $S_{\Delta HAO}$

Ta có: $S_{BCHO} = S_{\Delta HBC} + S_{\Delta HOB}$, biến đổi về $S_{\Delta AOM}$, ta tính được $S_{BCHO}$.

Giải chi tiết

a) Ta có $\angle ACB = 90{^\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $\angle ACM = 90{^\circ}$

Xét $\Delta MAC$ vuông tại C $\left( {\angle ACM = 90{^\circ}} \right)$ nên $\Delta MAC$ nội tiếp đường tròn đường kính AM, suy ra M, A, C cùng thuộc đường tròn đường kính AM.

Xét $\Delta MAH$vuông tại H $\left( {AH\bot OM} \right)$ nên $\Delta MAH$ nội tiếp đường tròn đường kính AM, suy ra M, A, H cùng thuộc đường tròn đường kính AM.

Vậy A, M, C, H cùng thuộc đường tròn đường kính AM hay tứ giác AMCH nội tiếp.

b) Chứng minh $MA^{2} = MB.MC$

Xét $\Delta MAC$ và $\Delta MBA$ có:

$\angle AMB$ chung

$\angle MCA = \angle MAB\left( {= 90{^\circ}} \right)$

Nên $\Delta MAC\, \backsim \,\Delta MBA$ (g.g)

Suy ra $\dfrac{MA}{MB} = \dfrac{MC}{MA}$ hay $MA^{2} = MB.MC$

Chứng minh $\dfrac{MB}{MC} = \dfrac{AB^{2}}{AC^{2}}$

Xét $\Delta ABM$ có: $\angle MAB = 90{^\circ}$ và AB = AM = 2R nên $\Delta ABM$ vuông cân tại A

Vì $\angle ACM = 90{^\circ}$ nên AC là đường cao, do đó AC cũng là đường trung tuyến

Suy ra $MC = CB = \dfrac{1}{2}MB$ (C là trung điểm của BM) hay $\dfrac{MB}{MC} = 2$ (1)

và $AC = CM = CB = \dfrac{1}{2}MB$ (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Áp dụng định lí Pythagore vào $\Delta CAB$ vuông cân tại C, ta có:

$AB^{2} = AC^{2} + CB^{2}$

$AB^{2} = 2AC^{2}$ (do AC = CB)

Suy ra $\dfrac{AB^{2}}{AC^{2}} = 2$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\dfrac{MB}{MC} = \dfrac{AB^{2}}{AC^{2}} = 2$

c) Chứng minh $HB\bot HC$

Áp dụng định lí Pythagore vào $\Delta AOM$ vuông tại A nên $OM^{2} = AM^{2} + AO^{2}$

$OM = \sqrt{AM^{2} + AO^{2}} = \sqrt{4R^{2} + R^{2}} = R\sqrt{5}$

Xét $\Delta HOA$ và $\Delta AOM$ có:

$\angle AHO = \angle MAO\left( {= 90{^\circ}} \right)$

$\angle AOH$ chung

nên $\Delta\, HOA \backsim \,\Delta AOM$ (g. g)

suy ra $\dfrac{HO}{AO} = \dfrac{HA}{AM} = \dfrac{OA}{OM} = \dfrac{R}{R\sqrt{5}} = \dfrac{1}{\sqrt{5}}$

do đó $HA = \dfrac{AM}{\sqrt{5}} = \dfrac{2R}{\sqrt{5}}$

Xét $\Delta AOM$ và $\Delta HAM$ có:

$\angle MAO = \angle MHA\left( {= 90{^\circ}} \right)$

$\angle AMH$ chung

nên $\Delta\, AOM \backsim \,\Delta HAM$ (g. g)

suy ra $\dfrac{AO}{HA} = \dfrac{AM}{HM} = \dfrac{OM}{AM} = \dfrac{R\sqrt{5}}{2R} = \dfrac{\sqrt{5}}{2}$

do đó $HM = \dfrac{2AM}{\sqrt{5}} = \dfrac{4R}{\sqrt{5}}$

Vì $\Delta\, HOA \backsim \,\Delta AOM$ và $\Delta\, AOM \backsim \,\Delta HAM$ nên $\Delta\, HOA \backsim \,\Delta HAM$

Do đó $\dfrac{HO}{HA} = \dfrac{OA}{AM} = \dfrac{HA}{HM} = \dfrac{2R}{\sqrt{5}}:\dfrac{4R}{\sqrt{5}} = \dfrac{1}{2}$ (3)

Mặt khác, $AC = \dfrac{1}{2}MB$ (cmt) nên $\dfrac{AC}{MB} = \dfrac{1}{2}$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra: $\dfrac{HA}{HM} = \dfrac{AC}{MB}\left( {= \dfrac{1}{2}} \right)$

Xét $\Delta MHB$ và $\Delta AHC$ có:

$\angle BMH = \angle CAH$ (cùng chắn cung HC)

$\dfrac{HA}{HM} = \dfrac{AC}{MB}$ (cmt)

Nên $\Delta\, MHB \backsim \,\Delta AHC$ (c.g.c)

suy ra $\angle MHB = \angle AHC$ (cặp góc tương ứng)

Mà $\angle MHB = \angle MHC + \angle CHB$; $\angle AHC = \angle MHC + \angle AHM$

Suy ra $\angle CHB = \angle AHM = 90^{{^\circ}}$

Vậy $HB\bot HC$

Tính diện tích tứ giác $BCHO$ theo $R$.

Từ H kẻ $HE\bot AO$

Ta có $S_{\Delta HOA} = \dfrac{1}{2}HE.AO$; $S_{\Delta HOB} = \dfrac{1}{2}HE.BO$ ($AO = BO = R$)

Nên $S_{\Delta HOA} = S_{\Delta HOB}$

Vì $\Delta\, HOA \backsim \,\Delta AOM$ (cmt) nên $\dfrac{S_{\Delta HOA}}{S_{\Delta AOM}} = \left( \dfrac{OA}{OM} \right)^{2} = \left( \dfrac{R}{R\sqrt{5}} \right)^{2} = \dfrac{1}{5}$, suy ra $S_{\Delta HOA} = \dfrac{1}{5}S_{\Delta AOM}$

Xét $\Delta ABC$ có $\angle ACB = 90{^\circ}$, AC = BC nên $\Delta ABC$ vuông cân tại C. Áp dụng định lí Pythagore, ta có:

$\begin{array}{l} {AC^{2} + BC^{2} = AB^{2}} \\ {2BC^{2} = AB^{2}} \\ {BC^{2} = \dfrac{AB^{2}}{2} = \dfrac{4R^{2}}{2} = 2R^{2}} \end{array}$

Suy ra $BC = \sqrt{2R^{2}} = R\sqrt{2}$

Ta có: $\angle AMH = \angle ACH$ (hai góc nội tiếp chắn cung AH)

Mà $\angle AMH = \angle HAO$ (do $\Delta\, HOA \backsim \,\Delta AOM$)

nên $\angle HCA = \angle HAO$ hay $\angle HCA = \angle HAB$

Mà $\Delta\, MHB \backsim \,\Delta AHC$ nên $\angle HCA = \angle HBC$ (hai góc tương ứng)

Suy ra $\angle HAB = \angle HBC$

Xét $\Delta HAO$ và $\Delta HBC$ có:

$\angle AHO = \angle CHB = 90^{{^\circ}}$

$\angle HAO = \angle HBC$ (do $\angle HAB = \angle HBC$)

nên $\Delta\, HAO \backsim \,\Delta HBC$ (g.g)

suy ra $\dfrac{HA}{HB} = \dfrac{HO}{HC} = \dfrac{AO}{BC} = \dfrac{R}{R\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Do đó $\dfrac{S_{\Delta HAO}}{S_{\Delta HBC}} = \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)^{2} = \dfrac{1}{2}$, suy ra $S_{\Delta HBC} = 2S_{\Delta HAO}$

Ta có: $S_{BCHO} = S_{\Delta HBC} + S_{\Delta HOB}$

$S_{BCHO} = 2S_{\Delta HAO} + S_{\Delta HOA}$

$S_{BCHO} = 3S_{\Delta HAO}$

$S_{BCHO} = 3.\dfrac{1}{5}S_{\Delta AOM} = \dfrac{3}{5}S_{\Delta AOM}$

Do đó $S_{BCHO} = \dfrac{3}{5}.\dfrac{1}{2}.AM.OA = \dfrac{3}{5}.\dfrac{1}{2}.2R.R = \dfrac{3}{5}R^{2}$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link