Cho tam giác ABC nhọn có góc $\angle A = 45^{0}$ nội tiếp (O; R). Vẽ các đường cao BD và CE của tam
Cho tam giác ABC nhọn có góc $\angle A = 45^{0}$ nội tiếp (O; R). Vẽ các đường cao BD và CE của tam giác cắt nhau tại H.
a) Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp, xác định tâm I của đường tròn này
b) Chứng minh AD. AC = AE. AB và tính tỉ số $\dfrac{DE}{BC}$
c) Tính theo R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AED.
Quảng cáo
a) Chứng minh bốn điểm B,C,D,E cùng thuộc đường tròn tâm I đường kính BC.
b) Chứng minh $\Delta ADB \backsim \Delta AEC$ (g.g). Từ đó ta có:$\dfrac{AD}{AE} = \dfrac{AB}{AC}$ suy ra$AD.AC = AE.AB$
Chứng minh $\Delta ADE \backsim \Delta ABC$ (g.g). Từ đó ta có: $\dfrac{DE}{BC} = \dfrac{AD}{AB}$
Xét tam giác ABD vuông tại D có $\cos\angle A = \dfrac{AD}{AB} = \cos 45^{0} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ hay $\dfrac{DE}{BC} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
c) Gọi N là trung điểm của AH.
Khi đó N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AED.
Ta có: $\angle BAC = 45^{0}$ suy ra $\angle BOC = 90^{0}$ (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung BC)
Suy ra BC = $R\sqrt{2}$ mà $\dfrac{ED}{BC} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ nên $ED = R$
Gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE.
Ta có: $\angle BAC = 45^{0}$ suy ra $\angle END = 90^{0}$ (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung ED)
Khi đó: ED = $r\sqrt{2}$ suy ra $r\sqrt{2} = R$
a) Gọi I là trung điểm của BC
Ta có: $\Delta$BCD vuông tại D có DI là trung tuyến
Suy ra: $IB = IC = ID = \dfrac{BC}{2}$(1)
Ta có: $\Delta$BCE vuông tại E có EI là trung tuyến
Suy ra: $IB = IC = IE = \dfrac{BC}{2}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: $IB = IC = ID = IE = \dfrac{BC}{2}$
Vậy bốn điểm B,C,D,E cùng thuộc đường tròn tâm I đường kính BC hay tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn tâm I.
b) Xét tam giác ADB và tam giác AEC có:
$\angle EAD$ chung
$\angle ADB = \angle AEC = 90^{0}$
Suy ra $\Delta ADB \backsim \Delta AEC$ (g.g)
Từ đó ta có:$\dfrac{AD}{AE} = \dfrac{AB}{AC}$ suy ra$AD.AC = AE.AB$
Vì tứ giác BCDE nội tiếp nên $\angle ABC + \angle EDC = 180^{0}$
Lại có $\angle ADE + \angle EDC = 180^{0}$ (hai góc kề bù)
Suy ra $\angle ABC = \angle ADE$
Xét ∆ADE và ∆ABC, ta có: $\angle ABC = \angle ADE$ và $\angle BAC$ chung
Suy ra $\Delta ADE \backsim \Delta ABC$ (g.g)
Từ đó ta có: $\dfrac{DE}{BC} = \dfrac{AD}{AB}$
Xét tam giác ABD vuông tại D có $\cos\angle A = \dfrac{AD}{AB} = \cos 45^{0} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ hay $\dfrac{DE}{BC} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
c) Vì tam giác AEH vuông tại E nên A,E,H cùng thuộc đường tròn đường kính AH.
Vì tam giác ADH vuông tại D nên A,D,H cùng thuộc đường tròn đường kính AH.
Gọi N là trung điểm của AH.
Khi đó N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AED.
Ta có: $\angle BAC = 45^{0}$ suy ra $\angle BOC = 90^{0}$ (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung BC)
Xét tam giác BOC vuông cân tại O có:
$\begin{array}{l} {BO^{2} + CO^{2} = BC^{2}} \\ {R^{2} + R^{2} = BC^{2}} \end{array}$
Suy ra BC = $R\sqrt{2}$ mà $\left. \dfrac{ED}{BC} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow\dfrac{ED}{R\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right.$ nên $ED = R$
Gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE.
Ta có: $\angle BAC = 45^{0}$ suy ra $\angle END = 90^{0}$ (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung ED)
Xét tam giác END vuông cân tại N có:
$\begin{array}{l} {EN^{2} + DN^{2} = ED^{2}} \\ {r^{2} + r^{2} = ED^{2}} \end{array}$
Khi đó: ED = $r\sqrt{2}$ suy ra $r\sqrt{2} = R$
Vậy $r = \dfrac{R}{\sqrt{2}}$
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
