Cho hình vuông ABCD có cạnh là 30 cm. Trên cạnh AB lấy hai điểm E, G sao cho AE = GB = x (cm) và điểm

Câu hỏi số 787728:

Vận dụng

Cho hình vuông ABCD có cạnh là 30 cm. Trên cạnh AB lấy hai điểm E, G sao cho AE = GB = x (cm) và điểm E nằm giữa điểm A và điểm G. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt CD tại F; qua G kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt CD tại H. Người ta gập hình vuông theo hai cạnh EF và GH sao cho cạnh AD trùng cạnh BC như hình vẽ để tạo thành hình lăng trụ đứng khuyết đáy. Tìm x để thể tích hình lăng trụ lớn nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:787728

Phương pháp giải

- Tính thể tích lăng trụ theo x.

- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương để tìm thể tích lớn nhất của lăng trụ.

- Xét dấu “=” xảy ra để tìm x.

Giải chi tiết

Ta có AE = GB = x (0 < x < 15, đơn vị: cm), suy ra EG = 30 – 2x (cm).

Kẻ đường cao AK của $\Delta AGE$.

Vì $\Delta AGE$ cân tại A nên $KE = \dfrac{EG}{2} = \dfrac{30 - 2x}{2} = 15 - x$ (cm).

Áp dụng định lí Pythagore cho $\Delta AKE$ vuông tại K, ta có:

$AK^{2} + KE^{2} = AE^{2}$

$AK^{2} = AE^{2} - KE^{2}$

$AK = \sqrt{AE^{2} - KE^{2}}$

$AK = \sqrt{x^{2} - {(15 - x)}^{2}}$

$AK = \sqrt{30x - 225}$.

Diện tích đáy lăng trụ là:

$S_{AGE} = \dfrac{1}{2}AK.GE = \dfrac{1}{2}\sqrt{30x - 225}.(30 - 2x) = \sqrt{30x - 225}.(15 - x)$ $\left( {cm^{2}} \right)$.

Thể tích lăng trụ là:

$V = S_{AGE}.AD = \sqrt{30x - 225}.(15 - x).30 = \sqrt{15(2x - 15)}.\sqrt{15 - x}.\sqrt{15 - x}.30$

$= 30\sqrt{15}.\sqrt{(2x - 15)(15 - x)(15 - x)}$ $\left( {cm^{3}} \right)$.

Vì $\Delta AKE$ vuông tại K nên AE > KE hay $x > \dfrac{15}{2}$, suy ra 2x – 15 > 0.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương 2x – 15, 15 – x, 15 – x, ta được:

$3.\sqrt[3]{(2x - 15)(15 - x)(15 - x)} \leq (2x - 15) + (15 - x) + (15 - x)$

$3.\sqrt[3]{(2x - 15)(15 - x)(15 - x)} \leq 15$

$\sqrt[3]{(2x - 15)(15 - x)(15 - x)} \leq 5$

$(2x - 15)(15 - x)(15 - x) \leq 5^{3}$

$\sqrt{(2x - 15)(15 - x)(15 - x)} \leq \sqrt{5^{3}}$

$\sqrt{(2x - 15)(15 - x)(15 - x)} \leq 5\sqrt{5}$.

$30\sqrt{15}.\sqrt{(2x - 15)(15 - x)(15 - x)} \leq 30\sqrt{15}.5\sqrt{5}$

$V \leq 750\sqrt{3}$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 2x – 15 = 15 – x, suy ra x = 10.

Vậy, để thể tích lăng trụ lớn nhất thì x = 10.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link