Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) có đường cao AD và đường phân giác trong AO (D, O thuộc cạnh BC).

Câu hỏi số 787727:

Vận dụng

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) có đường cao AD và đường phân giác trong AO (D, O thuộc cạnh BC). Kẻ $OM\bot AB$ tại M, $ON\bot AC$ tại N.

a) Chứng minh bốn điểm O, M, D, N cùng nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh: $\angle BDM = \angle ODN$.

c) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt MN tại I, AI cắt BC tại K. Chứng minh K là trung điểm của BC.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:787727

Phương pháp giải

a) Chứng minh $\angle AMO = 90^{o}$ và $\angle ANO = 90^{o}$, từ đó suy ra các điểm M, N, D, O cùng thuộc đường tròn đường kính AO.

b) Chứng minh:

+ $\angle AMO = \angle ANO$ (do $\Delta AMO = \Delta ANO$).

+ $\angle AOM = \angle ADM$ (góc nội tiếp chắn cung AM).

+ $\angle AON = \angle ADN$ (góc nội tiếp chắn cung AN).

Từ đó ta được $\angle ADM = \angle ADN$, suy ra $\angle BDM = \angle ODN$.

c) Qua I, kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC tại P, Q. Chứng minh:

+ OI là phân giác của POQ, suy ra PI = IQ (do $\Delta POQ$ cân tại O).

+ $\dfrac{PI}{BK} = \dfrac{QI}{CK}$ (theo hệ quả định lí Thales).

Từ đó suy ra BK = CK, hay K là trung điểm của BC.

Giải chi tiết

a) Ta có:

+ $OM\bot AB$ tại M nên $\angle AMO = 90^{o}$. Do đó, M thuộc đường tròn đường kính AO.

+ $ON\bot AC$ tại N nên $\angle ANO = 90^{o}$. Do đó, N thuộc đường tròn đường kính AO.

+ AD là đường cao của $\Delta ABC$ nên $\angle ADO = 90^{o}$. Do đó, D thuộc đường tròn đường kính AO.

Vậy, bốn điểm M, N, D, O cùng thuộc đường tròn đường kính AO.

b) Xét $\Delta AMO$ và $\Delta ANO$, có:

AO chung;

$\angle AMO = \angle ANO = 90^{o}$;

$\angle OAM = \angle OAN$ (OA là đường phân giác trong của $\Delta ABC$).

Suy ra $\Delta AMO = \Delta ANO$ (g.c.g), do đó $\angle AOM = \angle AON$ (1)

Vì các điểm M, D, N cùng thuộc đường tròn đường kính AO nên ta có:

$\angle AOM = \angle ADM$(góc nội tiếp chắn cung AM) (2)

$\angle AON = \angle ADN$ (góc nội tiếp chắn cung AN) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra ADM = ADN.

Do đó $90^{o} - \angle ADM = 90^{o} - \angle ADN$, suy ra $\angle BDM = \angle ODN$.

c) Qua I, kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC tại P, Q.

Vì $OI\bot BC$, mà PQ // BC nên $OI\bot PQ$.

Ta có:

+ $\angle OMP = 90^{o}$ nên M thuộc đường tròn đường kính OP.

+ Vì $OI\bot PQ$, suy ra $OIP = 90^{o}$ nên I thuộc đường tròn đường kính OP.

Do đó OMPI là tứ giác nội tiếp, suy ra $\angle POI = \angle PMI$ (góc nội tiếp chắn cung PI) (4)

Ta có:

+ $\angle ONQ = 90^{o}$ nên N thuộc đường tròn đường kính OQ.

+ Vì $OI\bot PQ$, suy ra $\angle OIQ = 90^{o}$ nên I thuộc đường tròn đường kính OQ.

Do đó ONQI là tứ giác nội tiếp, suy ra $\angle IOQ + \angle INQ = 180^{o}$; mà $\angle INQ + \angle INA = 180^{o}$ (góc kề bù) nên $\angle IOQ = \angle INA$ (5)

Ta có:

+ $\angle INA = \angle AOM$ (góc nội tiếp chắn cung AM).

+ $\angle PMI = \angle AON$ (góc nội tiếp chắn cung AN).

+ $\angle AOM = \angle AON$ (chứng minh trên).

Do đó, $\angle INA = \angle PMI$ (6)

Từ (4), (5) và (6) suy ra $\angle POI = \angle IOQ$, do đó OI là phân giác của $\angle POQ$.

Mặt khác, $OI\bot PQ$ nên OI vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của $\Delta POQ$.

Suy ra $\Delta POQ$ cân tại O và OI cũng là đường trung tuyến của $\Delta POQ$ nên PI = IQ.

Vì PQ // BC nên theo hệ quả của định lí Thales: $\dfrac{PI}{BK} = \dfrac{AI}{AK} = \dfrac{QI}{CK}$.

Ta có $\dfrac{PI}{BK} = \dfrac{QI}{CK}$, mà PI = QI nên BK = CK.

Vậy K là trung điểm của BC.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link