Cho hình vuông $ABCD$ có độ dài cạnh bằng $4~\,\text{cm}$. Vẽ đường tròn tâm $O$ đường kính

Câu hỏi số 787745:

Vận dụng

Cho hình vuông $ABCD$ có độ dài cạnh bằng $4~\,\text{cm}$. Vẽ đường tròn tâm $O$ đường kính $AD\,;$ $BM$ là tiếp tuyến của đường tròn tâm $O$ ($M$ là tiếp điểm,$M \neq ~A$), $BM$ cắt $CD$ tại $K$.

a) Chứng minh $4$ điểm $A,\mspace{6mu} B,\mspace{6mu} M,\mspace{6mu} O$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh $OB\bot OK$ và $BM\mspace{6mu}.\mspace{6mu} MK = \dfrac{AB^{2}}{4}$.

c) Đường thẳng $AM$ cắt $CD$ tại$E$. Chứng minh $K$ là trung điểm của đoạn thẳng $ED$ và tính chu vi của tứ giác $ABKD$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:787745

Phương pháp giải

a) $\Delta ABO$ vuông tại $A$, $\Delta MBO$ vuông tại $M$ suy ra $4$ điểm $A,\mspace{6mu} B,\mspace{6mu} M,\mspace{6mu} O$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $BO$.

b) Chứng minh $\Delta MBO \backsim \Delta MOK$(g.g) nên suy ra $\dfrac{BM}{MO} = \dfrac{MO}{MK}$(cạnh tương ứng) suy ra đpcm.

c) Ta chứng minh được chu vi tứ giác$ABKD$là $P_{ABKD} = AB + AD + KB + KD$$= 3AB + 2KD$

Từ $BM\mspace{6mu}.\mspace{6mu} KM = OA^{2} = OM^{2} = 2^{2} = 4\,\left( \text{cm} \right)$, ta tính được $KD = 1\mspace{6mu}\left( \text{cm} \right)$.

Giải chi tiết

a) Ta có $\Delta ABO$ vuông tại $A$, do đó $A$ thuộc đường tròn đường kính $BO$.

Ta có $BM$ là tiếp tuyến tại $M$ của đường tròn$(O)$, suy ra $BM\bot OM$ nên ta có $\Delta MBO$ vuông tại $M$, do đó $M$ thuộc đường tròn đường kính$BO$.

Suy ra $4$ điểm $A,\mspace{6mu} B,\mspace{6mu} M,\mspace{6mu} O$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $BO$.

b) Ta có $BA\bot OA\ $($A$ thuộc đường tròn tâm$~O$) nên $BA$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$

Tương tự ta có $KD$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$

Ta có $BA$ và $BM$ là hai tiếp tuyến cắt nhau

Suy ra OB là đường phân giác của $\angle AOM$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Ta có KD và KM là hai tiếp tuyến cắt nhau

Suy ra OK là đường phân giác của $\angle DOM$(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Do đó OB và OK là hai tia phân giác của hai góc kề bù $\angle AOM$ và $\angle DOM$.

Suy ra $OB\bot OK$ hay $\angle BOK = 90^{{^\circ}}$

Xét $\Delta MBO$ và $\Delta MOK$ có:

$\angle OMB = \angle OMK = 90^{0}$

$\angle OBM = \angle KOM$ (cùng phụ với góc OKB)

Suy ra $\Delta MBO \backsim \Delta MOK$(g.g) nên suy ra $\dfrac{BM}{MO} = \dfrac{MO}{MK}$ (cạnh tương ứng)

Suy ra $BM\,\,.\,\, KM = OM^{2} = OA^{2} = \dfrac{AB^{2}}{4}$

c) Ta có $\Delta BAM$ cân tại $B{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {BA = {\mkern 1mu} BM} \right)$ nên $\angle BAM = \angle BMA$

Lại có $\angle KEM = \angle BAM$ (hai góc so le trong); $\angle BMA = \angle KME$ (hai góc đối đỉnh)

Suy ra $\angle KEM = \angle KME$

Nên $\Delta KEM$ cân tại $K$

Do đó $KE = KM$

Mặt khác $KD = KM$

Do đó $KE = KD$ hay $K$ là trung điểm của $ED$.

Ta có $BM\mspace{6mu}.\mspace{6mu} KM = OA^{2} = OM^{2} = 2^{2} = 4\,\left( \text{cm} \right)$

$KM = \dfrac{4}{BM} = \dfrac{4}{4} = 1\mspace{6mu}\left( \text{cm} \right)$

$KD = 1\mspace{6mu}\left( \text{cm} \right)$

Ta có chu vi tứ giác$ABKD$là

$P_{ABKD} = AB + AD + KB + KD$

$= AB + AD + \,\left( {AB + KD} \right) + KD$ ($KM = KD;BM = BA$ do tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$= 3AB + 2KD = 3\,\,.\,\,\, 4\ + \ 2\,\,.\,\, 1 = 14\mspace{6mu}\left( \text{cm} \right)$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link