Người ta muốn dùng một tấm bạt hình chữ nhật dài 10m, rộng 4m để phủ kín mái và hai mặt

Câu hỏi số 787746:

Vận dụng

Người ta muốn dùng một tấm bạt hình chữ nhật dài 10m, rộng 4m để phủ kín mái và hai mặt trước, sau của một cái lều dài 4m. Biết hai mái lều là các hình chữ nhật bằng nhau và hợp với nhau tạo thành góc vuông (hình vẽ). Tính độ cao h của cột lều để thể tích cái lều lớn nhất (kết quả làm tròn đến xentimét).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:787746

Phương pháp giải

Gọi chiều rộng mái lều là $x\,(m)$ ta có $2x + 2h = 10$$\left. \Rightarrow x + h = 5\Rightarrow h = 5 - x \right.$ (1)

Tam giác ABC vuông cân tại A nên áp dụng định lý Pythagore ta tính được $BC = x\sqrt{2}\,\left( \text{m} \right)$

Cái lều có dạng hình lăng trụ đứng có chiều cao 4m và đáy là ngũ giác ABDEC

Từ đó tính được thể tích của cái lều là: $V = 4.S_{ABDEC}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $V = 2x^{2} + 4\sqrt{2}.x\left( {5 - x} \right)$. Phân tích để tìm giá trị lớn nhất của V.

Giải chi tiết

Gọi chiều rộng mái lều là $x\,\left( \text{m} \right)$ ta có $2x + 2h = 10$$\left. \Rightarrow x + h = 5\Rightarrow h = 5 - x \right.$ (1)

Tam giác ABC vuông cân tại A nên áp dụng định lý Pythagore ta có:

$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} = x^{2} + x^{2} = 2x^{2}$

$BC = x\sqrt{2}\,\left( \text{m} \right)$

Cái lều có dạng hình lăng trụ đứng có chiều cao 4m và đáy là ngũ giác ABDEC

Ta có $S_{ABDEC} = S_{ABC} + S_{BCED}$

Thể tích của cái lều là: $V = 4.S_{ABDEC} = 4.\left( {\dfrac{x^{2}}{2} + hx\sqrt{2}} \right) = 2x^{2} + 4\sqrt{2}.hx$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $V = 2x^{2} + 4\sqrt{2}.x\left( {5 - x} \right) = \left( {2 - 4\sqrt{2}} \right)x^{2} + 20\sqrt{2}.x$

$= \left( {2 - 4\sqrt{2}} \right)\left( {x^{2} - \dfrac{10\left( {\sqrt{2} + 4} \right)}{7}.x + \dfrac{50\left( {9 + 4\sqrt{2}} \right)}{49} - \dfrac{50\left( {9 + 4\sqrt{2}} \right)}{49}} \right)$

$= \left( {2 - 4\sqrt{2}} \right)\left\lbrack {\left( {x - \dfrac{5\left( {\sqrt{2} + 4} \right)}{7}} \right)^{2} - \dfrac{50\left( {9 + 4\sqrt{2}} \right)}{49}} \right\rbrack$

$= \left( {2 - 4\sqrt{2}} \right)\left( {x - \dfrac{5\left( {\sqrt{2} + 4} \right)}{7}} \right)^{2} + \dfrac{200\sqrt{2} + 100}{7} \leq \dfrac{200\sqrt{2} + 100}{7}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi $\left. x = \dfrac{5\left( {\sqrt{2} + 4} \right)}{7}\Rightarrow h = \dfrac{15 - 5\sqrt{2}}{7} \approx 1,13\,\left( \text{m} \right) \right.$.

Vậy chiều cao cột lều $h \approx 1,13\,\left( \text{m} \right)$thì thể tích cái lều lớn nhất.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link