Một cửa hàng xăng dầu cần xây một bồn chứa dầu hình trụ bằng thép có thể tích $54\pi$

Câu hỏi số 787755:

Vận dụng

Một cửa hàng xăng dầu cần xây một bồn chứa dầu hình trụ bằng thép có thể tích $54\pi$ $\left( m^{3} \right)$ và giá mỗi mét vuông thép là 500 nghìn đồng. Hỏi số tiền thấp nhất mà cửa hàng phải trả là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:787755

Phương pháp giải

Gọi bán kính đáy bồn chứa là r (mét, r > 0), chiều cao bồn chứa là h (mét, h > 0).

Tính h theo r. Lập công thức tính diện tích toàn phần của bồn chứa theo r.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương để tìm diện tích xung quanh nhỏ nhất của bồn chứa.

Tính giá tiền ứng với diện tích xung quanh nhỏ nhất vừa tìm được.

Giải chi tiết

Gọi bán kính đáy bồn chứa là r (mét, r > 0), chiều cao bồn chứa là h (mét, h > 0).

Thể tích bồn chứa là $V = \pi r^{2}h = 54\pi$, suy ra $h = \dfrac{54\pi}{\pi r^{2}} = \dfrac{54}{r^{2}}$ (m).

Diện tích toàn phần của bồn chứa là:

$S = 2\pi r^{2} + 2\pi rh = 2\pi r^{2} + 2\pi r.\dfrac{54}{r^{2}} = 2\pi r^{2} + \dfrac{108\pi}{r} = 2\pi r^{2} + \dfrac{54\pi}{r} + \dfrac{54\pi}{r}$ $\left( m^{2} \right)$.

Để chi phí xây dựng thấp nhất thì diện tích toàn phần của bồn phải nhỏ nhất.

Ta có:

$S = 2\pi r^{2} + \dfrac{54\pi}{r} + \dfrac{54\pi}{r} \geq 3\sqrt[3]{2\pi r^{2}.\dfrac{54\pi}{r}.\dfrac{54\pi}{r}}$ (bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương)

$S \geq 3\sqrt[3]{2.54.54.\pi^{3}}$

$S \geq 54\pi$.

Dấu “=” xảy ra khi $2\pi r^{2} = \dfrac{54\pi}{r}$

$2r^{3} = 54$

$r = 3$.

Khi đó số tiền thấp nhất mà cửa hàng phải trả là $54\pi.500000 \approx 84823002$ (đồng).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link