Từ điểm A nằm ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).

Câu hỏi số 787754:

Vận dụng

Từ điểm A nằm ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Kẻ đường kính CD của (O).

a) Chứng minh BD // AO.

b) AD cắt (O) tại E (A, E, D theo thứ tự). Chứng minh rằng $AB^{2} = AE.AD$.

c) Vẽ $BH\bot DC$ tại H. Gọi I là trung điểm của BH. Chứng minh ba điểm A, I, D thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:787754

Phương pháp giải

a) Chứng minh OA và BD cùng vuông góc với BC, suy ra OA // BD.

b) Chứng minh $\Delta AEC \backsim \Delta ACD$, suy ra $AC^{2} = AE.AD$, mà AB = AC nên $AB^{2} = AE.AD$.

c) Chứng minh $\Delta HDB \backsim \Delta COA$, suy ra $\dfrac{HD}{CD} = \dfrac{HI}{AC}$.

Từ đó, chứng minh $\Delta HDI \backsim \Delta CDA$, suy ra hai tia DI và DA trùng nhau.

Kết luận A, I, D thẳng hàng.

Giải chi tiết

a) Gọi M là giao điểm của OA và BC.

Vì B thuộc (O) có đường kính CD nên $\angle CBD = 90^{o}$, hay $BD\bot BC$ (1)

Vì AB, AC là hai tiếp tuyến của (O) nên OA là tia phân giác của $\angle BOC$.

Mà $\Delta BOC$ cân tại O (do OB = OC), suy ra OM vừa là đường phân giác, vừa là đường cao của $\Delta BOC$.

Do đó $OA\bot BC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra OA // BD (cùng vuông góc với BC).

b) Vì E thuộc (O) có đường kính CD nên $\angle CED = 90^{o}$, hay $CE\bot AD$.

Xét $\Delta AEC$ và $\Delta ACD$:

+ $\angle AEC = \angle ACD = 90^{o}$;

+ $\angle A$ chung.

Suy ra $\Delta AEC \backsim \Delta ACD$ (g.g), do đó $\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{AC}{AD}$, suy ra $AC^{2} = AE.AD$.

Mà AB = AC nên $AB^{2} = AE.AD$.

c) Vì BD // AO (chứng minh trên) nên $\angle HDB = \angle COA$ (góc đồng vị).

Xét $\Delta HDB$ và $\Delta COA$:

+ $\angle DHB = \angle OCA = 90^{o}$;

+ $\angle HDB = \angle COA$ (chứng minh trên).

Suy ra $\Delta HDB \backsim \Delta COA$ (g.g), do đó $\dfrac{HD}{OC} = \dfrac{BH}{AC}$, vì vậy $\dfrac{HD}{2OC} = \dfrac{BH}{2AC}$.

Mà CD = 2OC, BH = 2HI (vì O, I lần lượt là trung điểm của CD, BH).

Suy ra $\dfrac{HD}{CD} = \dfrac{2HI}{2AC}$, do đó $\dfrac{HD}{CD} = \dfrac{HI}{AC}$.

Xét $\Delta HDI$ và $\Delta CDA$:

+ $\angle DHI = \angle DCA = 90^{o}$;

+ $\dfrac{HD}{CD} = \dfrac{HI}{AC}$ (chứng minh trên).

Suy ra $\Delta HDI \backsim \Delta CDA$ (c.g.c), khi đó $\angle HDI = \angle CDA$, tức hai tia DI, DA trùng nhau.

Vậy ba điểm A, I, D thẳng hàng.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link