Biết phương trình bậc hai $x^{2} + 5x + a = 0$ có một nghiệm là $x = \dfrac{- 5 + \sqrt{13}}{2}$. Tìm

Câu hỏi số 787854:

Thông hiểu

Biết phương trình bậc hai $x^{2} + 5x + a = 0$ có một nghiệm là $x = \dfrac{- 5 + \sqrt{13}}{2}$. Tìm tổng các lập phương hai nghiệm của phương trình trên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:787854

Phương pháp giải

Thay nghiệm vào phương trình, tính a.

Tổng lập phương các nghiệm là $x_{1}{}^{3} + x_{2}{}^{3}$.

Biến đổi biểu thức và áp dụng định lí Viète: $S = x_{1} + x_{2} = - \dfrac{b}{a}$; $P = x_{1}.x_{2} = \dfrac{c}{a}$.

Giải chi tiết

Vì $x = \dfrac{- 5 + \sqrt{13}}{2}$ là một nghiệm của phương trình $x^{2} + 5x + a = 0$ nên thay nghiệm đó vào phương trình, ta được $\left( \dfrac{- 5 + \sqrt{13}}{2} \right)^{2} + 5.\dfrac{- 5 + \sqrt{13}}{2} + a = 0$, suy ra a = 3.

Vậy phương trình là $x^{2} + 5x + 3 = 0$.

Gọi $x_{1}$, $x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình.

Áp dụng hệ thức Viète: $\left\{ \begin{array}{l} {x_{1} + x_{2} = - \dfrac{b}{a} = - \dfrac{5}{1} = - 5} \\ {x_{1}x_{2} = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{1} = 3} \end{array} \right.$

Ta có $x_{1}{}^{3} + x_{2}{}^{3}$

$= \left( {x_{1} + x_{2}} \right)\left( {x_{1}{}^{2} - x_{1}x_{2} + x_{2}{}^{2}} \right)$

$= \left( {x_{1} + x_{2}} \right)\left\lbrack {\left( {x_{1} + x_{2}} \right)^{2} - 3x_{1}x_{2}} \right\rbrack$

$= - 5\left\lbrack {\left( {- 5} \right)^{2} - 3.3} \right\rbrack = - 80$.

Vậy tổng lập phương các nghiệm là -80.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link