Một bể bơi mini có dạng hình hộp chữ nhật với mặt đáy MNPQ là hình vuông. Hãy tìm độ dài

Câu hỏi số 787866:

Vận dụng

Một bể bơi mini có dạng hình hộp chữ nhật với mặt đáy MNPQ là hình vuông. Hãy tìm độ dài cạnh MN của mặt đáy và chiều cao AM của bể bơi sao cho tổng diện tích các mặt làm bể bơi (bao gồm 4 mặt xung quanh và một mặt đáy) là nhỏ nhất, biết rằng thể tích của bể bơi là 4 $m^{3}$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:787866

Phương pháp giải

Gọi độ dài cạnh MN của mặt đáy và chiều cao AM của bể bơi lần lượt là x và y (mét; x > 0, y > 0).

Biểu diễn y theo x.

Biểu diễn diện tích các mặt của bể bơi theo x.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương, tìm x để diện tích nhỏ nhất.

Giải chi tiết

Gọi độ dài cạnh MN của mặt đáy và chiều cao AM của bể bơi lần lượt là x và y (mét; x > 0, y > 0).

Do thể tích bể bơi là 4 $m^{3}$ nên $x^{2}y = 4$ hay $y = \dfrac{4}{x^{2}}$.

Tổng diện tích các mặt của bể bơi là:

$S = 4xy + x^{2} = \dfrac{16}{x} + x^{2} = x^{2} + \dfrac{8}{x} + \dfrac{8}{x}$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương $\dfrac{8}{x}$, $\dfrac{8}{x}$ và $x^{2}$, ta được:

$S = x^{2} + \dfrac{8}{x} + \dfrac{8}{x} \geq 3\sqrt[3]{x^{2}.\dfrac{8}{x}.\dfrac{8}{x}} = 3.4 = 12$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x^{2} = \dfrac{8}{x}$, suy ra x = 2, y = 1.

Vậy để tổng diện tích các mặt làm bể bơi là nhỏ nhất thì MN = 2 (m), AM = 1 (m).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link