Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Kẻ

Câu hỏi số 787865:

Vận dụng

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Kẻ đường kính AQ của đường tròn (O) cắt cạnh BC tại I.

a) Chứng minh bốn điểm A, F, H, E cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh $\angle BAD = \angle CAQ$.

c) Gọi P là giao điểm của AH và EF. Chứng minh $\Delta AEP$ đồng dạng với $\Delta ABI$ và PI song song với HQ.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:787865

Phương pháp giải

a) Chứng minh $\angle AEH = \angle AFH = 90^{o}$ suy ra A, F, H, E cùng thuộc đường tròn đường kính AH.

b) Chứng minh $\angle BAD = \angle QBC$ (cùng bằng $\angle BCF$) và $\angle QBC = \angle QAC$. Từ đó suy ra $\angle BAD = \angle QAC$.

c) $\Delta AEP$ đồng dạng với $\Delta ABI$: Chứng minh $\angle EAP = \angle BAI$ và $\angle AEP = \angle ABI$.

PI // HQ: Chứng minh $\dfrac{AP}{AI} = \dfrac{AH}{AQ}\left( {= \dfrac{AE}{AB}} \right)$ và áp dụng định lí Thalès đảo để kết luận.

Giải chi tiết

a) BE, CF là đường cao của tam giác ABC nên $BE\bot AC$, $CF\bot AB$.

Vì $\angle AEH = \angle AFH = 90^{o}$ nên E, F cùng thuộc đường tròn đường kính AH.

Vậy A, F, H, E cùng thuộc đường tròn đường kính AH.

b) Có $\angle BAD = \angle BCF$ (cùng phụ với $\angle ABC$) (1)

Vì B thuộc đường tròn (O) đường kính AQ nên $\angle ABQ = 90^{o}$, suy ra $BQ\bot AB$.

Mà $CF\bot AB$ nên BQ // CF. Do đó, $\angle QBC = \angle BCF$ (góc so le trong) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\angle BAD = \angle QBC$.

Mặt khác, $\angle QBC = \angle QAC$ (góc nội tiếp chắn cung QC).

Do đó $\angle BAD = \angle QAC$ (đpcm).

c) Từ chứng minh trên, ta có $\angle BAD = \angle QAC$

$\angle BAD + \angle DAI = \angle QAC + \angle DAI$

$\angle BAI = \angle EAP$.

Vì $\angle BFC = \angle BEC = 90^{o}$ nên F, E cùng thuộc đường tròn đường kính BC, hay tứ giác BFEC nội tiếp.

Suy ra $\angle FBC + \angle FEC = 180^{o}$ (hai góc đối của tứ giác nội tiếp).

Mặt khác $\angle AEF + \angle FEC = 180^{o}$ (góc kề bù).

Do đó $\angle FBC = \angle AEF$ (cùng bù với $\angle FEC$) (3)

Xét $\Delta AEP$ và $\Delta ABI$, có:

+ $\angle EAP = \angle BAI$;

+ $\angle AEP = \angle ABI$ (chứng minh trên).

Suy ra $\Delta AEP \backsim \Delta ABI$ (g.g) (đpcm), do đó $\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AP}{AI}$ (4)

Vì tứ giác BFEC nội tiếp nên $\angle FEB = \angle FCB$ (góc nội tiếp cùng chắn cung FB).

Mà $\angle FCB = \angle CBQ$ (chứng minh trên) nên $\angle FEB = \angle CBQ$ (5)

Từ (4) và (5) suy ra $\angle AEP + \angle FEB = \angle ABI + \angle CBQ$, do đó $\angle AEH = \angle ABQ$.

Xét $\Delta AEH$ và $\Delta ABQ$, có:

+ $\angle EAH = \angle BAQ$;

+ $\angle AEH = \angle ABQ$.

Suy ra $\Delta AEH \backsim \Delta ABQ$ (g.g) (đpcm), do đó $\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AH}{AQ}$ (6)

Từ (4) và (6) suy ra $\dfrac{AP}{AI} = \dfrac{AH}{AQ}$ hay $\dfrac{AP}{AH} = \dfrac{AI}{AQ}$.

Vậy PI // HQ (định lí Thalès đảo).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link