Từ điểm $A$ ở ngoài đường tròn $\left( {O;R} \right)$ kẻ hai tiếp tuyến $AB,AC$ (với $B,C$là hai
Từ điểm $A$ ở ngoài đường tròn $\left( {O;R} \right)$ kẻ hai tiếp tuyến $AB,AC$ (với $B,C$là hai tiếp điểm). Gọi $H$ là giao điểm của $OA$ và $BC$.
a) Chứng minh rằng: 4 điểm $A,B,O,C$cùng thuộc một đường tròn
b) Chứng minh $OA\bot BC$
c) Tia $AO$ cắt đường tròn $(O)$tại $M,N$ ($M$nằm giữa $A$ và $N$). Chứng minh: $AM.AN = AH.AO$.
d) Kẻ đường kính $BD$. Gọi $E$ là hình chiếu của $C$ trên $BD$, $K$ là giao điểm của $AD$ và $CE$. Chứng minh $K$ là trung điểm $CE$.
Quảng cáo
a) Gọi $I$ là trung điểm của $AO$. Suy ra $IA = IO = \dfrac{1}{2}AO\mspace{6mu}(1)$
Xét $\Delta ABO$vuông tại $B$, có $BI$ là trung tuyến nên $BI = \dfrac{1}{2}AO\mspace{6mu}(2)$
Xét $\Delta ACO$ vuông tại $C$ có $CI$ là trung tuyến nên $CI = \dfrac{1}{2}AO\mspace{6mu}(3)$
Từ (1), (2), (3) suy ra $IA = IB = IC = IO$
Do đó 4 điểm $A,B,O,C$cùng thuộc đường tròn tâm $I$, đường kính $AO$.
b) Xét tam giác $\Delta ABC$ cân tại $A$ có $AO$ là phân giác nên $AO$ là đường cao
Do đó $AO\bot BC$
c) Chứng minh $\Delta AHB \backsim \Delta ABO$ nên $AB^{2} = AH.AO$
Ta lại có $AM.AN = (AO - OM).(AO + ON) = (AO - OB).(AO + OB) = AO^{2} - OB^{2}$
Xét $\Delta ABO$vuông tại $B$có: $AB^{2} = AO^{2} - OB^{2}$
Từ đó suy ra $AH.AO = AM.AN$
d) Chứng minh $EK.BD = DE.AB(1)$
Chứng minh $\Delta ABO \backsim \Delta CED(g - g)$suy ra: $\dfrac{DE}{BO} = \dfrac{CE}{AB}$ (tính chất)
Suy ra: $CE.BO = DE.AB(2)$
Từ (1) và (2) suy ra: $CE.BO = EK.BD$
Mà $BD = 2BO$, suy ra $CE = 2EK$
Vậy $K$ là trung điểm của $CE$
a) Xét đường tròn $(O)$ có $AB,AC$là 2 tiếp tuyến nên $CA\bot OC,\mspace{6mu} AB\bot OB$
Gọi $I$ là trung điểm của $AO$. Suy ra $IA = IO = \dfrac{1}{2}AO\mspace{6mu}(1)$
Xét $\Delta ABO$vuông tại $B$, có $BI$ là trung tuyến nên $BI = \dfrac{1}{2}AO\mspace{6mu}(2)$
Xét $\Delta ACO$ vuông tại $C$ có $CI$ là trung tuyến nên $CI = \dfrac{1}{2}AO\mspace{6mu}(3)$
Từ (1), (2), (3) suy ra $IA = IB = IC = IO$
Do đó 4 điểm $A,B,O,C$cùng thuộc đường tròn tâm $I$, đường kính $AO$.
b) Xét đường tròn $(O)$ có $AB,AC$là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại $A$
Nên $AB = AC,OA$ là phân giác của góc$BOC$,$AO$ là phân giác của góc $BAC$
Xét tam giác $\Delta ABC$ cân tại $A$ có $AO$ là phân giác nên $AO$ là đường cao
Do đó $AO\bot BC$
c) Ta có $AO\bot BC$ tại H nên $\angle AHB = 90^{0}$
Xét $\Delta AHB$và $\Delta ABO$ có: $\angle AHB = \mspace{6mu}\angle ABO = 90^{0}$
$\angle A$ chung
Suy ra $\Delta AHB \backsim \Delta ABO$ nên $\dfrac{AB}{AO} = \dfrac{AH}{AB}$ hay $AB^{2} = AH.AO\mspace{6mu}(4)$
Ta có $MN$ là đường kính của $(O)$nên $OM = ON = OB = R$
Ta lại có $AM.AN = (AO - OM).(AO + ON) = (AO - OB).(AO + OB) = AO^{2} - OB^{2}\mspace{6mu}(5)$
Xét $\Delta ABO$vuông tại $B$có: $AB^{2} = AO^{2} - OB^{2}\mspace{6mu}(6)$
Từ (4), (5), (6) suy ra $AH.AO = AM.AN$
d) Có $CE\text{//}AB$ (cùng $\bot BD$)
Suy ra $\dfrac{EK}{AB} = \dfrac{DE}{BD}$ (định lí Thales)
Suy ra: $EK.BD = DE.AB(*)$
Ta có $CD\text{//}OA$ (cùng $\bot BC$) nên $\angle CDE = \angle AOB$ (2 góc đồng vị)
Xét $\Delta ABO$và $\Delta CED$có $\angle CDE = \angle AOB$ (cmt)
$\angle ABO = \angle CED = 90^{0}$
Suy ra: $\Delta ABO \backsim \Delta CED(g - g)$
Suy ra: $\dfrac{DE}{BO} = \dfrac{CE}{AB}$ (tính chất)
Suy ra: $CE.BO = DE.AB(**)$
Từ (*) và (**) suy ra: $CE.BO = EK.BD$
Mà $BD = 2BO$, suy ra $CE = 2EK$
Vậy $K$ là trung điểm của $CE$
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
