Cho tứ giác $ABCD$ lồi có hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $P$. Giả sử $Q$ là giao điểm
Cho tứ giác $ABCD$ lồi có hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $P$. Giả sử $Q$ là giao điểm thứ hai của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $PAD$ và $PBC$. Gọi $M$ là trung điểm của $CD$. Giả sử $Q$ nằm trong tam giác $PCD$ và $\angle QPD = \angle MPC$. Chứng minh $ABCD$ là hình thang
Quảng cáo
Chứng minh $\dfrac{PD}{DB} = \dfrac{EC}{DB} = \dfrac{EC}{DQ}.\dfrac{DQ}{DB} = \dfrac{PC}{AQ}.\dfrac{AQ}{AC} = \dfrac{PC}{AC}$
Các tứ giác $PQDA,\,\, PQCB$ nội tiếp nên $\angle PDQ = \angle PAQ,\,\,\angle PBQ = \angle PCQ$
Do đó $\Delta QDB \backsim \Delta QAC\,\,\left( {g.g} \right)$
Suy ra $\dfrac{QD}{DB} = \dfrac{QA}{AC}\,\,(1)$
Lấy $E$ đối xứng $P$ qua $M$
Khi đó $PCED$ là hình bình hành
Ta có: $\angle EPC = \angle QPD = \angle QAD,\,\,\angle PCE = \angle QPD = \angle AQD$
Suy ra $\Delta PCE \backsim \Delta AQD\,\,\left( {g.g} \right)$
Do đó $\dfrac{EC}{QD} = \dfrac{PC}{AQ}\,\,(2)$
Từ (1) và (2) suy ra $\dfrac{PD}{DB} = \dfrac{EC}{DB} = \dfrac{EC}{DQ}.\dfrac{DQ}{DB} = \dfrac{PC}{AQ}.\dfrac{AQ}{AC} = \dfrac{PC}{AC}$
Suy ra $AB \parallel DC$ (đpcm)
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
