Cho hình chữ nhật $ABCD$, kẻ $AH\bot BD$ tại $H$. Gọi $M,\,\, N$ tương ứng là trung điểm của

Câu hỏi số 788597:

Vận dụng

Cho hình chữ nhật $ABCD$, kẻ $AH\bot BD$ tại $H$. Gọi $M,\,\, N$ tương ứng là trung điểm của $BH,\,\, CD$. Chứng minh $\angle AMN = 90{^\circ}$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:788597

Phương pháp giải

Gọi $K$ là trung điểm của $AH$

Chứng minh $DKMN$ là hình bình hành

Chứng minh $K$ là trực tâm của $\Delta AMD$

Giải chi tiết

Gọi $K$ là trung điểm của $AH$

Xét tam giác $ABH$ có $M,\,\, K$ tương ứng là trung điểm của $BH,\,\, AH$

Suy ra $MK$ là đường trung bình của $\Delta ABH$

Do đó $MK \parallel AB$ và $MK = \dfrac{1}{2}AB$

Mà $DN \parallel AB,\,\, DN = \dfrac{1}{2}CD = \dfrac{1}{2}AB$ nên $MK = DN,\,\, MK \parallel DN$

Do đó $DKMN$ là hình bình hành

$\left. \Rightarrow DK \parallel MN\,\,(1) \right.$

Vì $MK \parallel AB,AB\bot AD$ nên $MK\bot AD$

Xét $\Delta AMD$ có $MK\bot AD,\,\, AH\bot DM$

$\left. \Rightarrow K \right.$ là trực tâm của $\Delta AMD$

$\left. \Rightarrow DK\bot AM \right.$

Mà $MN \parallel DK$ nên $MN\bot AM$ hay $\angle AMN = 90{^\circ}$

Vậy $\angle AMN = 90{^\circ}$

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link